Les matheux sont dans la place - pt=prout

[Sidus Preclarum]

Raah mince ça veut dire que j'avais faux alors.

Ben si tu trouves pas un résultat super simple, oui...

[Sonny Jim]

Avis perso : en calculant les 5-6 premières valeurs de (1+I(sqrt(3))^n, ça sent la récurrence...

[Sidus Preclarum]

Disons que ça a un rapport, à moins que je me fourvoies, avec

Spoiler Alert!

le reste de la division de 2005 par 6

...

[Alab]

Parce qu'en fait avant on a résolu z²-2z+4 = 0 à l''aide de z = x + iy.
J'y ai trouvé :
Z = 1 + i sqrt3 ou
Z = 1 - i sqrt3 ou
Z = 2i ou
Z = -2i
(les deux derniers je suis moins sur mais les deux premiers on peut les trouver à l'aider de la forme canonique sans exprimer z en fonction de x et iy)

Après faut calculer (1 + i sqrt3)^n pour n allant de 1 à 6. Les résultats concordent avec ceux de mes camarades.

Cependant pour faire (1 + i sqrt3)^2005 personne n'a vraiment trouver, on a essayé en divisant 2005 par 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 mais à chaque fois ça donne des nombres non calculables quand même.

EDIT : Alors oui on a bien (1 + i sqrt3 )^2005 = ( (1 + i sqrt3 )^6 ) ^334 * (1 + i sqrt3 ) mais on sait que (1 + i sqrt3 )^6 = -64 et (-64)^334 c'est pas trop calculable non ?

[Sidus Preclarum]

Pense angle...
Module et argument.

[scie_sauteuse]

Ça me rappelle terriblement les énoncés de calculs avec des modulo qu'on faisait en BAC +2, mais je pense que c'est hors sujet...

Pour ma part je suis bien contente d'avoir fait prépa quand on arrive à des calculs avec des matrices dans tous les sens en aide à la décision cette année, ceux qui sortent de prépa intégrée ou prépa classique se baladent et les IUT pleurent... Et comme c'est la seule matière où la prépa sert à quelque chose, on en profite

D'ailleurs on pense mettre en place un genre de soutient de maths pour cette matière, sans prof mais avec les plus forts qui aident les moins forts. Sachant qu'on n'a aucun TD avant le partiel du mois prochain dans cette matière, Ducon, est-ce que tu aurais une idée de bouquin pas cher ou de site qui propose des exos corrigés sur le calcul matriciel, inversion de matrices, et éventuellement aide à la décision ? Genre pas un truc de 500 pages, juste quelques exos corrigés et des rappels de méthode pour nous aider à faire des genre de cours, vu que notre prof applique la méthode sans détailler les calculs on n'a aucun élément dans son cours, même pas les formules de base, mais uniquement les trucs d'aide à la décision bruts.

[Sonny Jim]

Après vérif, ça se démontre très bien par récurrence en cherchant la formule adéquate avec (1+i*sqrt(3)) ^1 à 6.

Mais effectivement, il doit y avoir beaucoup plus élégant en applicant les résultats des questions précédentes de ton problème.

[ducon]

Oui, c’est beaucoup plus simple avec le module et l’argument, surtout qu’on t’a balancé un nombre complexe assez bateau.

[Sonny Jim]

Z = 2i ou
Z = -2i
(les deux derniers je suis moins sur mais les deux premiers on peut les trouver à l'aider de la forme canonique sans exprimer z en fonction de x et iy)

[Mode pénible] Pas compliqué de vérifier : tu calcules z²-2z+4 avec z=+/-2i, et tu es immédiatement fixé.

[Vautour]

EDIT : Alors oui on a bien (1 + i sqrt3 )^2005 = ( (1 + i sqrt3 )^6 ) ^334 * (1 + i sqrt3 ) mais on sait que (1 + i sqrt3 )^6 = -64 et (-64)^334 c'est pas trop calculable non ?

C'est normalement ça la bonne méthode. Remarque : Je pose z= 1 + i sqrt 3, pour faciliter l'écriture.
Tu avais observé que z^6= 2^6. C'est en fait car |z|=2 et un argument de z est pi/3. Calculer des "grandes" puissances de nombres complexes, ça utilise souvent la forme trigonométrique (donnée par module et argument donc). Ici, ça te donne z^2005 = |z|^2005 exp (2005 i pi/3) = 2^2005 exp (i pi/3) (car le reste de la division euclidienne de 2005 par 6 est 1 (qu'on peut aussi dire sous la forme 2005 est congru à 1 modulo 6, si tu as fait de l'arithmétique dans ta vie).

Dire que j'explique ça la semaine prochaine à mes étudiants ...

PS : Pour z^2-2z+4=0, tu trouves 2 solutions au plus. Ce n'est pas possible d'avoir 4 solutions distinctes. Et de toute évidence, c'est 1 +- i sqrt 3 qui sont les solutions, pas les +- 2i.

[rOut]

Bah, (1 + i√3)²⁰⁰⁵ ça fait ((((1 + i√3)⁴)⁴)⁵)⁵)⁵ * (1 + i√3)⁵, sachant que tu as calculé Z1⁴ = (1 + i√3)⁴ avant et que tu as sans doute trouvé -8 * Z1, et Z1⁵ = Z1⁴ * Z1 = 16 Z2.

Ca se simplifie rapidement tout ça, tu dois trouver un résultat avec de belles puissances de 2 et un dernier produit de nombres complexes tout bidon.

[Alab]

[Mode pénible] Pas compliqué de vérifier : tu calcules z²-2z+4 avec z=+/-2i, et tu es immédiatement fixé.

Oui je me suis rendu compte que je m'étais gouré du coup. ^^"
J'avais pas pensé à la forme trigonométrique, je vais refaire la première question et après je chercherai dans ce sens. Merci.

[Sonny Jim]

Après faut calculer (1 + i sqrt3)^n pour n allant de 1 à 6. Les résultats concordent avec ceux de mes camarades.

Cependant pour faire (1 + i sqrt3)^2005 personne n'a vraiment trouver, on a essayé en divisant 2005 par 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 mais à chaque fois ça donne des nombres non calculables quand même.

EDIT : Alors oui on a bien (1 + i sqrt3 )^2005 = ( (1 + i sqrt3 )^6 ) ^334 * (1 + i sqrt3 ) mais on sait que (1 + i sqrt3 )^6 = -64 et (-64)^334 c'est pas trop calculable non ?

Tu as donc du remarquer que (1 + i sqrt3) ^1 ressemble à (1 + i sqrt3)^4, (1 + i sqrt3)^2 ressemble à (1 + i sqrt3)^5, (1 + i sqrt3)^3 ressemble à (1 + i sqrt3)^6 ...

[Alab]

Bah, (1 + i√3)²⁰⁰⁵ ça fait ((((1 + i√3)⁴)⁴)⁵)⁵)⁵ * (1 + i√3)⁵, sachant que tu as calculé Z1⁴ = (1 + i√3)⁴ avant et que tu as sans doute trouvé -8 * Z1, et Z1⁵ = Z1⁴ * Z1 = 16 Z2.

Ca se simplifie rapidement tout ça, tu dois trouver un résultat avec de belles puissances de 2 et un dernier produit de nombres complexes tout bidon.

Oui ça se simplifie j'ai trouvé un truc comme ça mais ça se calcule pas vu qu'à la fin ça fait des trucs énormes au carré non ?

[rOut]

Tu connais pas par coeur tes puissances de 2 ? Qu'est ce que tu fous sur ce forum ?

[Sidus Preclarum]

J'avais pas pensé à la forme trigonométrique

Le truc, c'est qu'elle est beaucoup plus adaptée aux multiplications.

[Sonny Jim]

Le truc, c'est qu'elle est beaucoup plus adaptée aux multiplications.

Mais c'est plutôt intéressant dans ce cas aussi.

En tout cas, j'ai une proposition de résultat : alab, quand tu en auras un aussi, on comparera.

[Alab]

En tout cas, j'ai une proposition de résultat : alab, quand tu en auras un aussi, on comparera.

Aucun soucis on fait comme ça.

[ducon]

Et on obtient un joli espace vectoriel de dimension 4.

[Alab]

Bon j'ai compris pour l'histoire de la forme trigo, par contre c'est impossible de trouver une valeur non ?
On reste coincé à z^2005 = 2^2005 * (cos pi/3 + 1sin pi/3) non ? On a simplifié le calcul mais c'est impossible à déduire, ou du moins ça serait une nombre trop grand.

[Sidus Preclarum]

On reste coincé à z^2005 = 2^2005 * (cos pi/3 + 1sin pi/3) non ? On a simplifié le calcul mais c'est impossible à déduire, ou du moins ça serait une nombre trop grand.

Ben ouais. C'est assez simple comme ça, non? (2^2005)*e^(i*pi/3)
Z^2005=z*2^2004

[Alab]

Ben ouais. C'est assez simple comme ça, non? (2^2005)*e^(i*pi/3)

Le e c''est quoi ? Exponentiel ? Nombre d'Euler ? Parce qu'on a vu ni l'un ni l'autre je crois.

[Sidus Preclarum]

Ah ok.
http://www.mathovore.fr/maths-termin...-complexes.php
Points III et V

[Sonny Jim]

Bon j'ai compris pour l'histoire de la forme trigo, par contre c'est impossible de trouver une valeur non ?
On reste coincé à z^2005 = 2^2005 * (cos pi/3 + 1sin pi/3) non ? On a simplifié le calcul mais c'est impossible à déduire, ou du moins ça serait une nombre trop grand.

Ben moi, c'est une réponse qui me convient bien.
Pour faire joli, on peut transformer ça en :
2^2004 (1 + i*sqrt(3))

[Alab]

Ben moi, c'est une réponse qui me convient bien.
Pour faire joli, on peut transformer ça en :
2^2004 (1 + i*sqrt(3))

Ok donc c'était bon 'enfin à peu près). Merci beaucoup en tout cas !

[Sonny Jim]

Ok donc c'était bon 'enfin à peu près). Merci beaucoup en tout cas !

Ben ce que tu disais était juste, je l'ai juste écrit autrement. Après, y a plus qu'à démontrer proprement.

[Alab]

Ben ce que tu disais était juste, je l'ai juste écrit autrement. Après, y a plus qu'à démontrer proprement.

En expliquant que 1 + isqrt3 est la forme géométrique de z, calculant l'argument, montrant que thêta = pi/3, etc... C'est fait. ^^
Bon reste plus qu'à recopier.

[Alab]

Aujourd'hui en philosophie on a parlé des géométries non-euclidienne avec les espaces à courbures négatives et positives mais la prof a pas trop su expliquer ceux à courbures positives avec le fait qu'à un point hors d'une droite il n'existe aucune parallèle à la droite et passant par ce point.

Quelqu'un veut s'y coller pour tenter d'expliquer ? Parce que ça m'a assez intéressé même si ça me dépasse complètement. ^^
Elle a comparer la forme d'un espace à courbures positive à une sorte de sphère, la forme de l'univers en gros, c'est ça ?

[ducon]

Tu marches sur un espace à courbure positive : la sphère.
Pour un espace à courbure négative, pense à un col de montagne ou une selle de cheval.
Pour l’univers, on ne sait pas trop, mais il n’est pas trop loin d’un espace à courbure nulle.

[Sonny Jim]

Je sais que l'exemple est foireux, mais on m'avait présenté ça en disant :

• dans un espace à courbure nulle, la somme des angles d'un triangle est égale à 180°
• courbure positive : la somme est supérieure à 180°
• courbure négative : inférieure à 180 °

PS : et après recherche, c'est exactement ce que dit wiki, donc c'est pas si foireux que ça :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbure_spatiale