Les matheux sont dans la place - pt=prout

[Anonyme20240202]

Oui ça va en terme d'algo j'ai pas de problème à résoudre la question (dénombrer le nombre de configurations possible pour un chemin de taille maximale N, équivalent à N lancers pour ceux qui connaissent le problème initial), j'ai produit des algos qui résolvent le cas général. Mais j'avais l'intuition qu'on pouvait dénombrer les configurations via une formule.

Mais j'en viens du coup à me poser des questions existentielles sur la différence entre une formule et un algorithme et je sens que je vais pas dormir ce soir.

C'est un peu équivalent à la question suivante: comment tu dénombres toutes les permutations d'un ensemble? Tu peux prouver que c'est n! ou n est le cardinal de l'ensemble.
Mais tu peux aussi facilement créer une procédure systématique qui va trouver n!

Là j'ai trouvé la procédure systématique pour mon problème mais je me demande si on peut pas trouver une formule. J'ai l'intuition que oui mais j'y arrive pas.

[Enyss]

Les problèmes de dénombrement, c'est souvent compliqué

[Møgluglu]

Sinon tu peux supposer que tu connais le nombre de configurations pour n donné, et exprimer le nombre de configurations pour n+1 en fonction, pour obtenir une formule de récurrence.

Si tu as écrit l'algo qui énumère toutes les possibilités, compter le nombre d'opérations qu'il fait ne doit plus être si compliqué ?

[Vautour]

Dénombrer (avec une formule, pas à la main en essayant tout) tous les n-uplets (x0, ... , x3)

Tels que

x0 + x1 + x2 + x3 = 7

Sous contrainte:

x0 <= 4
x1 <= 3
x2 <= 2
x3 <= 1

et pour tout xn, xn >= 1 si la somme partielle x0 + ... + xn-1 < 7

J'ai l'impression qu'on peut se ramener à des partitions des entiers :
x0 + x1 + x2 + x3 = 7
équivaut à (x0-4)+(x1-3)+(x2-2)+(x3-1)=7-(4+3+2+1)=-3
équivaut à y0+ y1+y2+y3=3, avec tes y_i définis par -(x_i-i), et ta première contrainte d'inégalité sur les x_i donne sur les y_i la contrainte suivante : y_i positif ou nul.
Si on oublie ta deuxième contrainte, c'est donc un banal calcul de nombre de partitions d'un entier, mais pas l'entier qui te saute aux yeux (plutôt un truc de la forme N-n(n+1)/2).

Ta deuxième contrainte, c'est pour éviter les 0 tant que la somme totale n'est pas atteinte, c'est ça ? (tu as un problème de quantification dans ton énoncé, ton n est fixe, mais tu dis "pour tout xn") Avec ma reformulation, je ne vois pas commenter la faire apparaitre dans un contexte de partitions de 3. Je n'ai pas de papier ni crayon, donc je n'y ai pas vraiment réfléchi non plus ...

[DeadFish]

Pour le fameux problème "des étudiants" ou "des oeufs"

Le peuple veut un lien (Google n'est pas très coopératif sur ce coup-là).

[Anonyme20240202]

Le peuple veut un lien (Google n'est pas très coopératif sur ce coup-là).

Tu veux déterminer à quel étage E un oeuf se casse. L'immeuble fait N étages et tu as 2 oeufs. Quel est le minimum de lancers à faire pour déterminer l'étage E.

Sachant qu'une fois un oeuf lâché au-dessus de E, il se casse et que tant qu'il est lâché en-dessous de E tu peux le réutiliser.

C'est un brain teaser assez classique en entretien

[Enyss]

Tu veux déterminer à quel étage E un oeuf se casse. L'immeuble fait N étages et tu as 2 oeufs. Quel est le minimum de lancers à faire pour déterminer l'étage E.

D'ailleurs, la bonne question ça serrait plutôt : quelle est la stratégie qui minimise le nombre de lancers moyens pour déterminer l'étage E (en supposant que la distribution de probabilité de E est uniforme)?

En particulier, il existe des stratégies qui sont moins efficaces en moyenne, mais plus efficace sur des cas particuliers. Exemple : si E = 1, alors la stratégie optimale consiste à jeter l’œuf de l'étage 1, ce qui nous permet de déterminer E en un seul lancer. On peut d'ailleurs prouver que E prend (ou ne prend pas) une valeur donnée en deux lancers, quelque soit sa valeur

De même, si la distribution de E n'est pas uniforme (par exemple, l’œuf à plus de chance de se briser en premier au 1er étage qu'à l'étage 200), la stratégie optimale serra différente.

[Anonyme20240202]

Sinon tu peux supposer que tu connais le nombre de configurations pour n donné, et exprimer le nombre de configurations pour n+1 en fonction, pour obtenir une formule de récurrence.

Si tu as écrit l'algo qui énumère toutes les possibilités, compter le nombre d'opérations qu'il fait ne doit plus être si compliqué ?

C'est un peu plus compliqué que ça parce que pour un couple T (nombre de noeuds) et N (taille maximale du chemin le plus long/du minimum de lancers), tu peux n'avoir aucune partition/aucune configuration possible.

Genre pour T = 7 il faut N >= 4 et N <= 7

Et plus généralement pour T il faut Delta_n <= N <= T

Avec Delta_n le nombre triangulaire tel que T = Delta_n + K avec K < n + 1

Pas trouvé de moyen de formuler ça plus joliment

J'ai l'impression qu'on peut se ramener à des partitions des entiers :
x0 + x1 + x2 + x3 = 7
équivaut à (x0-4)+(x1-3)+(x2-2)+(x3-1)=7-(4+3+2+1)=-3
équivaut à y0+ y1+y2+y3=3, avec tes y_i définis par -(x_i-i), et ta première contrainte d'inégalité sur les x_i donne sur les y_i la contrainte suivante : y_i positif ou nul.
Si on oublie ta deuxième contrainte, c'est donc un banal calcul de nombre de partitions d'un entier, mais pas l'entier qui te saute aux yeux (plutôt un truc de la forme N-n(n+1)/2).

Ta deuxième contrainte, c'est pour éviter les 0 tant que la somme totale n'est pas atteinte, c'est ça ? (tu as un problème de quantification dans ton énoncé, ton n est fixe, mais tu dis "pour tout xn") Avec ma reformulation, je ne vois pas commenter la faire apparaitre dans un contexte de partitions de 3. Je n'ai pas de papier ni crayon, donc je n'y ai pas vraiment réfléchi non plus ...

Je crois que t'as fait une étourderie (ou j'ai mal compris)

Mais sur les y_i la contrainte n'est pas positif ou nul mais y_i >= -n (ici n = 4)

Sinon j'ai trouvé un truc intéressant.

Je me suis mis à dessiner les configuration pour le cas 7. Il y en a 12 en tout:



Et je pense que ce que tu voulais dire Vautour c'est de regarder les carrés blancs (ou vice versa les carrés noirs).

Et ça ressemble à un coefficient binomial en enlevant les formes équivalentes.

Donc 3 parmi 10 (ou 7 parmi 10, c'est pareil, selon qu'on regarde triangle noir ou blanc)

Et on divise par le nombre de formes équivalente (10) et ça donne 12.

Mais j'ai pas encore vérifié qu'il y a 10 formes équivalente, c'est juste une intuition peut-être foireuse.

Et faut que je trouve un moyen systématique de dénombrer les formes équivalentes...

- - - Mise à jour - - -

D'ailleurs, la bonne question ça serrait plutôt : quelle est la stratégie qui minimise le nombre de lancers moyens pour déterminer l'étage E (en supposant que la distribution de probabilité de E est uniforme)?

En particulier, il existe des stratégies qui sont moins efficaces en moyenne, mais plus efficace sur des cas particuliers. Exemple : si E = 1, alors la stratégie optimale consiste à jeter l’œuf de l'étage 1, ce qui nous permet de déterminer E en un seul lancer. On peut d'ailleurs prouver que E prend (ou ne prend pas) une valeur donnée en deux lancers, quelque soit sa valeur

De même, si la distribution de E n'est pas uniforme (par exemple, l’œuf à plus de chance de se briser en premier au 1er étage qu'à l'étage 200), la stratégie optimale serra différente.

C'est exactement ce que je disais dans un post précédent, je trouve la question de base trop limitée.

La question de base demande un nombre minimum de lancer qui garanti de trouver la réponse et ne considère pas du tout le cas moyen.

Dans le cas moyen les configurations que j'ai dessinées interviennent.

[Souly]

Je suis sur téléphone donc je ne peux pas développer, mais ton problème se formalise et se résout "facilement" avec des séries génératrices.
Genre trouve le coefficient x^7 dans la formule :

Sum( i>0, Prod(j=1..i, Sum(k=1..5-j, x^k)))

C'est de tête donc il y a peut-être des erreurs, mais tu peux creuser dans cette direction.
J'expliquerai mieux si ça t'intéresse quand j'aurai un vrai clavier.

[Anonyme20240202]

Avec plaisir

- - - Mise à jour - - -

Surtout que je connais rien à ces séries génératrices, je suis en train de regarder sur Wikipédia

En combinatoire analytique, on étudie une suite de dénombrements an, représentant le nombre d'objets de taille n vérifiant telle ou telle condition (par exemple le nombre de permutations d'un ensemble de n lettres, ou le nombre des polyominos de n carrés) à l'aide de la série génératrice (le plus souvent ordinaire ou exponentielle) associée ; Philippe Flajolet et Robert Sedgewick ont développé une méthode systématique (la méthode symbolique) de détermination de cette série génératrice à partir des contraintes sur les objets étudiés

Ça ressemble à mon problème ouais

- - - Mise à jour - - -

https://fr.wikipedia.org/wiki/Partition_d%27un_entier

Hmmm faudrait que j'arrive à exploiter ça, c'est compliqué D:

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En gros mon problème c'est bien évidemment la partition d'un entier mais avec les fameuses contraintes

[Anonyme20240202]

https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyomino

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tableau_de_Young

[Enyss]

Je suis sur téléphone donc je ne peux pas développer, mais ton problème se formalise et se résout "facilement" avec des séries génératrices.
Genre trouve le coefficient x^7 dans la formule :

Sum( i>0, Prod(j=1..i, Sum(k=1..5-j, x^k)))

C'est de tête donc il y a peut-être des erreurs, mais tu peux creuser dans cette direction.
J'expliquerai mieux si ça t'intéresse quand j'aurai un vrai clavier.

Tu utilises quelle(s) relation(s) pour les coefficients de ta série génératrice?

[Anonyme20240202]

J'ai trouvé un cours pas mal du tout sur les séries génératrices, les exercices à la fin sont très intéressants, je vais étudier le bazar. Souly si jamais tu as le temps d'élaborer sur ta réponse je suis preneur

https://www.eleves.ens.fr/home/budzi...13_courstd.pdf

[Dr.Kant]

Salut,

Je suis en train de lire le livre suivant : http://www.barnesandnoble.com/p/stat...lickid=3x20456 Statistical Physics: A Probabilistic Approach, qui est un livre de physique statistique. Je le recommande chaudement pour ceux qui aiment les statistiques et la physique, avec en outre une presentation historique au debut de chaque chapitre permettant d’apprécier la duree necessaire pour qu'un nouveau concept emerge et arrive a maturite.

Certains passages ou l'auteur demontre certains grands resultats, comme les formules du corps noir, font particulièrement chaud au coeur.

Le probleme c'est que je comprend pas tout, et plus particulierement dans la page suivante, comment passe-t-il de l'equation aux derivees partielles a la ligne du dessous ?



Le contexte du paragraphe c'est de redemontrer la loi de Stefan.

Edit 1 : L'equation aux derivees partielles est l'application du Theoreme de Schwartz a l'entropie. Ici l'entropie est defini a l'aide du second principe reecrit : dS = [d(uV)+PdV]/T, avec u la densite d'energie.
Edit 2 : L'auteur ne reference pas l'article de Boltzmann d'ou est tire ce raisonnement.
Edit 3 : Sachant que P=u/3 pour le corps noir, alors : dS = [d(uV)+PdV]/T = [d(uV)+u/3dV]/T = [Vdu+ 4u/3dV]/T. Du coup le theoreme de Schwartz, c'est D(D(dS)/DV)/DT = D(D(dS)/DT)/DV. En appliquant les derivees partielles aux formes differentielles seulement (me demandez pas pourquoi), alors on retrouve l'equation aux derivees partielles.

Edit 4 : En fait, il n'y avait pas de piege. Le deuxieme membre de l'equation a derivees partielles se developpe en : D(4/3*u/T)/DT=4/3*(1/T*du/dT-u/T^2)... et on tombe sur le resultat... Et bin, voila pourquoi je suis pas chercheur :-(

Merci

[Laya]

[topic des matheux]MAIS CA NE TEND PAS VERS L'INFINI FFSDEBORDELDEMERDEDEPUTE.[/topic des matheux]

Après tu lui montres que 1/OO ça donne 0. Et la boucle est bouclé.

[Vautour]

Sauf qu'infini n'est pas un nombre, que personne n'écrit 1/infini sans mettre de guillemets (ou sans préciser forme indéterminée du type ...).
Donc y a pas de boucle bouclée.

[Laya]

Sauf qu'infini n'est pas un nombre, que personne n'écrit 1/infini sans mettre de guillemets (ou sans préciser forme indéterminée du type ...).
Donc y a pas de boucle bouclée.

C'est sur-estimer des physiciens.

N'empêche j'imagine que ça a prit un peu de temps à être correctement formulé, parce que ce n'est pas si évident au départ. Je ne connais pas bien l'histoire des math d'ailleurs.

[Møgluglu]

Et 2/infini ça fait aussi 0 tout comme 1/infini avec cette définition, alors que 2 et 1 sont plutôt différents.

Moi ça ne me gène pas, j'ai l'habitude des systèmes où +infini et -infini sont des nombres et où il y a plusieurs zéros suivant leur signe ou leur ordre de grandeur (et où la racine carrée de -0 vaut -0 dont l'inverse est -infini). Mais leurs propriétés sont assez différentes de celles des réels.

[Laya]

Et 2/infini ça fait aussi 0 tout comme 1/infini avec cette définition, alors que 2 et 1 sont plutôt différents.

Moi ça ne me gène pas, j'ai l'habitude des systèmes où +infini et -infini sont des nombres et où il y a plusieurs zéros suivant leur signe ou leur ordre de grandeur (et où la racine carrée de -0 vaut -0). Mais leurs propriétés sont assez différentes de celles des réels.

Qu'est ce que tu appelles système?

Je taquinais Vautour , par contre d'un point de vue pédagogique je trouve pas ça forcement stupide, parce que ça me parait assez intuitif, et tu peux faire bien ressortir le problème du infini/infini du coup.

[Møgluglu]

Système de représentation des nombres. On touche le hors-sujet en évoquant des applications bassement matérielles, mais tu peux voir par exemple N, Z, Q, R ou Z/42Z avec les opérations + et ×, voire - et / comme des façons de représenter le concept de "nombre" de la vraie vie, outre leur existence en tant qu'objet mathématique.

Mais comme nous-autres mortels travaillons en espace et en temps fini, on aime bien les systèmes de numération avec un nombre de symboles fini ou au moins dénombrable. Et des algorithmes pour calculer dessus en temps fini et si possible court, avec des blocs-notes, des règles à calcul ou des ordinateurs. Sur lesquels on va coder les nombres avec des objets physiques comme des cailloux, des chiffres, des graduations ou des bits.

Donc on va utiliser des systèmes comme Z/(2^32)Z, le complément à 2, ou l'arithmétique virgule flottante de la norme IEEE-754. Ce dernier système a les caractéristiques baroques ci-dessus, mais qui sont néanmoins bien utiles.

Cela dit, il y a toujours des flamewars pour savoir si c'est une bonne idée ou pas d'utiliser le même symbole pour un dépassement de capacité et pour l'inverse d'un 0. Et si ça a un rapport ou pas avec la notion de limite.

[Dr.Kant]

Nouvelle question sur l'entropie : dans l'equation , y-a-t-il une definition rigoureuse pour le "delta Q" ou bien est-ce que ca veut juste dire que le transfert thermique elementaire n'est pas une forme differentielle exacte? Merci

[Møgluglu]

Depuis le topic des profs à propos de la définition d'égalité.

Hello,
Dans mon souvenir tu es informaticien. Tu veux pas, justement, venir sur le topic des matheux dire pourquoi ça t'intéresse ?
J'ai souvent l'impression que définir une égalité, un ensemble etc, consiste à mettre un synonyme sans rien apporter. (ex "un ensemble est une collection d'objets" la belle affaire) Curieux de voir en quoi ça peut correspondre à des problématiques naturelles.

D'abord parce que je suis curieux.

Ensuite, en informatique, la question de l'égalité se pose notamment pour le typage. Est-ce que deux types x et y sont égaux, ou au moins est-ce que je peux passer un objet de type x à une fonction qui attend un objet de type y ?

Il y a plein de sectes qui ont leur avis sur le sujet, comme les intensionalistes et les extensionalistes (si je dis pas de connerie, je mélange toujours les deux).
La définition intensionelle juge que deux types sont égaux si et seulement si leur contenu est identique. Par exemple, dans le système de type ML, on n'a même pas besoin de nommer les types, ils sont entièrement déterminés par la façon dont ils sont construits.
La définition extensionelle juge que deux types sont égaux si et seulement s'ils ont le même comportement visible. C'est plutôt les langages orientés objet qui aimeraient avoir ça (surement parce que c'est indécidable).
Et puis tu as ceux qui jugent que deux types sont égaux si et seulement si on a décidé qu'ils sont égaux. Par exemple, le système de type d'Ada ne te laissera pas convertir un type chou en type patate même si les types chou et patate sont tous les deux des entiers entre 0 et 100.

Autrement, la correspondance de Curry-Howard établit une équivalence entre preuve et programme, entre proposition et type. Par exemple, le modus ponens ((p -> q) ^ p) -> q peut être vu comme une proposition logique, ou comme le type d'une fonction qui prend une fonction de type p -> q et un objet de type p en paramètres et renvoie un objet de type q. Et la démonstration de la proposition est le code de la fonction.

Mais quel est le type qui correspond à une proposition faisant intervenir une égalité comme a = b ? Quel est le programme équivalent à la preuve de a = b qui construit un objet de type a = b ?

[ducon]

En Python, l’égalité est définie dans ta classe par la méthode spéciale __eq__ qui régit le comportement de l’opérateur ==, donc tu peux très bien avoir 2.0==2 mais pas "2"==2 en Python.
En mathématiques, deux objets sont égaux s’ils sont égaux. C’est une tautologie mais de mémoire, l’égalité est un symbole premier (relis Bourbaki).

[Møgluglu]

En Python, l’égalité est définie dans ta classe par la méthode spéciale __eq__ qui régit le comportement de l’opérateur ==, donc tu peux très bien avoir 2.0==2 mais pas "2"==2 en Python.

Oui, c'est à ça qu'on voit que Python n'est pas un langage de matheux ni d'informaticien. Eux c'est plutôt la secte de ceux qui n'en ont rien à foutre des définitions.

Mais note que j'avais parlé d'égalité entre types. L'opérateur == teste l'égalité entre objets, ce qui est encore une notion différente. Je crois que Python est assez funky sur les types aussi, genre tu peux modifier le type d'un objet en live en ajoutant des membres à sa classe.

En mathématiques, deux objets sont égaux s’ils sont égaux. C’est une tautologie mais de mémoire, l’égalité est un symbole premier (relis Bourbaki).

Oui, je sais je devrais RELIRE Bourbaki. (Mais "en mathématiques" est un peu ambitieux, c'est plutôt "en théorie des ensembles" que c'est défini comme ça.)

En vrai je connais la réponse à ma question plus haut : c'est refl le type dépendant qui dit que a = a pour tout a de type A. Mais ça ne m'aide pas beaucoup.
J'ai l'impression qu'il faut admettre l'axiome d'univalence de Jabba le HoTT pour déduire des propriétés utile de cette définition. C'est un truc comme ça ou je dis de la merde ?

[Enyss]

J'aurai tendance à définir l'égalité ainsi : si a = b, alors on peut remplacer toutes les occurrences de a par b (et inversement). Dit autrement, a = b signifie que a et b sont deux noms pour le même objet.

[Wobak]

J'aurai tendance à définir l'égalité ainsi : si a = b, alors on peut remplacer toutes les occurrences de a par b (et inversement). Dit autrement, a = b signifie que a et b sont deux noms pour le même objet.

Hmmmm avec un exemple ?

3+1 = 4.

4 est un chiffre, 3+1 est une addition.

[ducon]

Oui, c'est à ça qu'on voit que Python n'est pas un langage de matheux ni d'informaticien. Eux c'est plutôt la secte de ceux qui n'en ont rien à foutre des définitions.

Si, en un sens c’est très matheux : tu définis les objets comme tu le souhaites et tu travailles avec.

Mais note que j'avais parlé d'égalité entre types. L'opérateur == teste l'égalité entre objets, ce qui est encore une notion différente. Je crois que Python est assez funky sur les types aussi, genre tu peux modifier le type d'un objet en live en ajoutant des membres à sa classe.

Python est très permissif, une classe est elle-même un objet donc tu peux la tripatouiller quand tu veux.

En vrai je connais la réponse à ma question plus haut : c'est refl le type dépendant qui dit que a = a pour tout a de type A. Mais ça ne m'aide pas beaucoup.
J'ai l'impression qu'il faut admettre l'axiome d'univalence de Jabba le HoTT pour déduire des propriétés utile de cette définition. C'est un truc comme ça ou je dis de la merde ?

Sinon oui, a=b veut dire qu’on peut remplacer partout a par b ou b par a.

Hmmmm avec un exemple ?

3+1 = 4.

4 est un chiffre, 3+1 est une addition.

Tu viens d’écrire une définition, 4 est le nombre qui suit le nombre 3, elle reste vraie si on utilise les chiffres romains.

[Møgluglu]

J'aurai tendance à définir l'égalité ainsi : si a = b, alors on peut remplacer toutes les occurrences de a par b (et inversement). Dit autrement, a = b signifie que a et b sont deux noms pour le même objet.

Les deux phrases ne sont pas contradictoires ? La première définition est extensionnelle, la seconde est plutôt intensionnelle.
Si tu as deux fonctions f et g telles qu'il n'y a pas de transformation algébrique/symbolique permettant de passer de f à g mais que f et g sont égales en tout point, est-ce que c'est le même objet ?

En tant qu'informaticien, ce qui me gène avec la définition extensionnelle est que c'est une propriété indécidable. Je ne sais pas dire si deux fonctions sont égales en tout point, je sais juste passer de l'une à l'autre par une suite finie d'identifications f = h = ... = g d'où par transitivité f = g, ou par induction en démontant f et g en un nombre fini de petits morceaux pour vérifier qu'elles sont construites avec les mêmes morceaux dans le même ordre.

Si, en un sens c’est très matheux : tu définis les objets comme tu le souhaites et tu travailles avec.

Oui mais l'environnement ne fait rien pour t'aider à vérifier la consistance de tes règles. Tu peux écrire des raisonnements contradictoires sans problème. De ce point de vue ce n'est pas mieux qu'un bloc-notes.
Contraste ça avec Prolog ou Coq, oú tu as un noyau minimal d'axiomes de la logique, tu peux aussi définir les objets comme tu le souhaites par dessus, mais le système ne te laissera pas écrire des choses contradictoires impunément.

Sinon oui, a=b veut dire qu’on peut remplacer partout a par b ou b par a.

Mais ça ne me dit pas explicitement quand est-ce que j'ai le droit ou pas de remplacer a par b et b par a. Ça sous-entend : il n'existe pas de contexte dans lequel remplacer a par b aboutisse à une contradiction ? Donc a et b ont des propriétés non contradictoires, mais est-ce que ça implique que a et b ont exactement les mêmes propriétés ?

[Enyss]

Si tu as deux fonctions f et g telles qu'il n'y a pas de transformation algébrique/symbolique permettant de passer de f à g mais que f et g sont égales en tout point, est-ce que c'est le même objet ?

Oui (si elles ont le même ensemble de définition et d'arrivée).

Une fonction c'est un triplet (E,F,G) ou G est une partie de ExF ayant certaines propriétés... Peu importe comment tu décris G, ça serra la même fonction si G est identique. Qu'il puisse être difficile de "passer" d'une description de G à l'autre n'est pas un soucis.

Mais ça ne me dit pas explicitement quand est-ce que j'ai le droit ou pas de remplacer a par b et b par a. Ça sous-entend : il n'existe pas de contexte dans lequel remplacer a par b aboutisse à une contradiction ? Donc a et b ont des propriétés non contradictoires, mais est-ce que ça implique que a et b ont exactement les mêmes propriétés ?

Oui. Quelque soit la propriété X, alors la proposition "a a la propriété X", est équivalente à la proposition "b a la propriété X". Donc l'ensemble des propriétés de a est le même que celui de b.

[darkpoulp]

Expert CPC (tm) at work!