Pourquoi les nombres ?

[YoggSaron]

Bonjour à vous,

Je me suis posé une question que voici: pourquoi avoir créé les nombres, si on ne peut même pas les compter ? Pourquoi avoir mis un système de numération sans début ni fin ?

Si quelqu'un à la réponse, je suis bon preneur.

PS: On essayera de rester dans R

[Cwningen]

Les nombres, les vrais, ont un début : 0 ou 1 selon les cultures (ou les langages de programmation), et ils sont dénombrables (par définition). Le reste ce sont des bricolages pour obtenir des propriétés étranges. ℝ ce n'est pas naturel.

[Enyss]

Le reste ce sont des bricolages pour obtenir des propriétés étranges. ℝ ce n'est pas naturel.

D'ailleurs, il a fallu attendre le 19ème pour en avoir une définition.

Par contre les propriétés fondamentales de R sont assez naturelles. Il s'agit, à peu de chose prêt, de boucher les trous entre les rationnels (qui apparaissent "naturellement"). Mais on n'a eu besoin de "boucher les trous" qu'à partir du moment ou on s'est mis à développer l'analyse (donc 18ème siècle en gros).

[Bah]

La question est intéressante, mais à priori elle a pas besoin d'un topic. Entre celui des maths et celui des questions, y'a largement de quoi faire.

[Vautour]

Les nombres, les vrais, ont un début : 0 ou 1 selon les cultures (ou les langages de programmation), et ils sont dénombrables (par définition). Le reste ce sont des bricolages pour obtenir des propriétés étranges. ℝ ce n'est pas naturel.

Racine de 2, ce n'est pas "naturel" ? Racine de 3 non plus ? Racine cubique de 2 non plus ? En gros, tous les nombres algébriques apparaissent d'une façon ou d'une autre.
Et, pi, il n'est pas "naturel" non plus ? Hop, les algébriques ne suffisent pas, on arrive aux réels. De façon très naturelle.

En ELI5, ça donne : les réels, c'est l'ensemble des nombres utiles combinés avec les opérations algébriques utiles (addition, soustraction, multiplication, addition, certaines racines).

[Cwningen]

Non, ce n'est pas naturel ni rationnel. C'est une blague sur le nom des ensembles. (jelb)

Plus sérieusement, je trouve qu'il y a un grand saut pour passer aux réels, ils ne sont plus dénombrables. Et YoggSaron parle de pouvoir compter les nombres. Des nombres indénombrables ça sonne comme un oxymore. Est-ce que les irrationnels, même si on en trouve effectivement en géométrie, sont encore des nombres ?

C'est sûrement un problème que j'ai parce que je fais trop d'informatique, on ne sait pas vraiment représenter les réels avec des ordinateurs.

[Enyss]

Plus sérieusement, je trouve qu'il y a un grand saut pour passer aux réels, ils ne sont plus dénombrables.

Il a fallu attendre les travaux de Cantor (en 1874) pour s'en rendre compte, alors que les nombres réels étaient utilisés depuis plus d'un siècle.

C'est sûrement un problème que j'ai parce que je fais trop d'informatique, on ne sait pas vraiment représenter les réels avec des ordinateurs.

Tout comme les suites à valeur dans {0,1} ne sont pas non plus dénombrables


Non, le plus rigolo, c'est que le cardinal de l'ensemble des nombres réels dont on peut donner une définition est dénombrable

[Shosuro Phil]

Non, le plus rigolo, c'est que le cardinal de l'ensemble des nombres réels dont on peut donner une définition est dénombrable

Bah avec une bonne définition de "donner une définition", on peut tout à fait prendre comme ensemble des "vrais nombres" ceux qu'on peut définir. C'est un corps, clairement (avec une bonne définition d'une définition)... il a juste des propriétés topologiques pas terribles.

Plus sérieusement, pour répondre à YoggSaron: on "définit" les nombres dont on a besoin plus par leurs propriétés souhaitables. Par exemple, avoir des nombres à la fois plus grands et plus petits que 0, c'est bien pratique. Partant de là, on peut se poser plein de questions:
- est-ce qu'il devrait y avoir un nombre plus petit que tous les autres? un plus grand que tous les autres? (Pourquoi pas, mais alors quels nombres? et pourquoi? -> OK, pas de plus petit ni de plus grand)
- est-ce que, pour un nombre donné, il devrait y avoir un plus petit nombre qui soit juste supérieur? (pareil: on ne voit pas trop pourquoi, et surtout quel serait l'écart minimum, et pourquoi -> OK, pas de plus petit nombre plus grand que x)

Et quand tu commences à lister les propriétés souhaitables, tu arrives à une définition de l'ensemble R (les réels). Et en partant de jeux légèrement différents de propriétés souhaitables, tu arrives à des définitions équivalentes. C'est grosso modo ce qui fait dire que les réels sont "naturels". Et ce, malgré certaines propriétés troublantes, et des variations qui dépendent des détails de la théorie des fondements qu'on prend au départ (théorie des ensembles, axiome du choix, toussa toussa).

Mais pour reprendre les considérations de base:
- les entiers naturels (0, 1, 2...), parce qu'on "voit bien" qu'on peut compter des trucs;
- les entiers relatifs (-1, -2, ..) parce qu'on "voit bien" qu'on peut marquer des points à intervalle réguliers sur une droite, des deux côtés d'un point de départ; aussi, ça permet de simplifier des calculs si la soustraction est toujours bien définie;
- les rationnels, parce qu'on "voit bien" qu'on peut toujours diviser un segment unité en autant de morceaux de la même longueur;
- des trucs genre racine de 2 (on prend le théorème de Pythagore et on a que la diagonale d'un carré de côté 1, c'est un nombre dont le carré vaut 2); les racines de tous les entiers positifs, de tous les rationnels positifs, sont des longueurs qu'on peut construire avec une règle et un compas, il va bien falloir les inclure;
- Pi, le rapport entre le périmètre et le diamètre d'un cercle, il faut bien l'avoir.

Bon, avec ce genre de considérations on reste dans le "c'est définissable", donc on en sortira pas de la dénombrabilité; mais si on cherche un peu à systématiser, on arrive assez vite à une notion de limite d'une suite... et si on essaie de décrire des conditions raisonnables qui font qu'une suite a une limite, on ouvre la boîte de Pandore et c'est plus dénombrable.

Ou alors on peut partir d'un système de numération raisonnable (décimal, ou autre), et là la non dénombrabilité est tout de suite présente, merci Georg.

[Bouyi]

6x7 = Karembeu.
C'est ma réponse.

[Anonyme20240202]

C'est une très bonne question, je pense qu'une grande partie des problèmes liés aux maths et à la compréhension des maths sont des problèmes conceptuels et la plupart des innovations ont été conceptuelles.

Et donc concernant pourquoi les nombres je pense que c'est simplement lié à la mesure, notion très importante et complexe en science, à la communication mais aussi aux questions fondamentales de distinction/dénombrement et définition.

Donc imaginons que j'ai un objet:

[Objet]

Et que maintenant j'en ai un deuxième

[Objet]

Ils sont indiscernables a priori, donc si je veux communiquer cette information à quelqu'un (il y a deux objets), ou même si je veux considérer l'information qui parvient de l'objet via la lumière qu'il émet jusqu'à mes yeux, on voit que la notion de 2 va apparaitre (2 sources de lumière chacun arrive dans l'oeil avec un angle différent etc.).

Mais fondamentalement la notion de 2 n'émerge pas par elle même, car tu peux décrire le système de la manière suivante:

[Objet] (x,y,z) <- l'objet et sa position dans l'espace
[Objet] (a,b,x) <- l'autre objet

Et là aucun nombre n'apparait, j'ai juste écrit deux fois objet: [Objet] [Objet]

Sauf que tout écrire comme ça revient à compte en base 1.

. = 1
.. = 2
... = 3
.... = 4
..... = 5

Donc on voit bien que les nombres ne sont qu'une représentation scientifique, un modèle physique (très simple) qui représente une réalité.

Et on peut partir de là pour se poser des questions très complexes, par exemple si les deux [Objet] que j'évoque sont exactement au même endroit dans l'espace, comment distinguer le fait qu'il y en a 2 ou 1 seul, si finalement ils partagent exactement les mêmes propriétés, inclus leur position dans l'espace, comment distingue 1 objet de 2 objet. Est ce possible dans notre univers?

On en arrive à la question fondamentale de l'existence d'entité distincte et de non uniformité de l'univers.

Donc la fameuse question "pourquoi est ce qu'il y a quelque chose, plutot que rien"

Dire rien ou néant en vrai revient à dire "pourquoi tout n'est pas complètement uniforme", pourquoi peut on distinguer, et à partir du moment où tu distingues, tu peux compter en base 1, donc tu crées les entiers naturels.

Le problème c'est que quand tu crées les naturels, comme c'est dit plus haut, si tu traces un carré, la notion de Racine(2) va apparaitre, donc on arrive à la notion de calcul itératif, continuité, etc. etc. la totale.

- - - Mise à jour - - -

Pour simplifier mon exemple très abstrait avec [Objet]

On peut donner l'exemple d'une Pomme et d'une Poire

Si je te demande combien il y a de fruits tu vas me répondre 2, parce que tu vas regarder chaque entité, determiner si elle appartient à [Fruit] et l'inclure dedans

.. = 2
(Pomme, Poire) = 2

Mais on voit que si tu dénombres les poires tu auras 1, de même pour les pommes. Donc un dénombrement est nécessairement lié à la notion d'identification et de groupement.

On peut aussi imaginer quelqu'un avec des lunettes et qui voit très mal, si tu lui demande de dénombrer les poires il va peut être dire 2, parce qu'il voit mal.

Et là on arrive à la notion de perception et donc ultimement de conscience, compréhension etc.

On peut aussi imaginer un Alien, qui ne va pas distinguer les 2 objets et qui va te dire qu'il voit un tas d'atomes de carbone devant lui, et pas 1 Pomme et 1 Poire.

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Et c'est vraiment très concret, genre imaginons que je fais de la muscu et que je te demande un poids de 20 Kg pour m'entrainer, je m'en tape que ce soit 20 Kg avec des Pommes ou des Poires, tu vas dire 20Kg et faire disparaitre une partie des propriétés de ces objets.

Quand tu comptes tu fais vraiment un travail de distinction fondamental.

Et c'est la science actuelle, le travail scientifique se fait sur ce qui est perçu, si ontologiquement 2 concepts sont distincts, le technicien qui utilise son modèle qui marche ne va pas s'en soucier (20Kg c'est 20Kg). Mais in fine les gens vont avoir des considération ontologique et en physique quantique c'est tout l'objet du débat des interprétations et des limites de ce qu'on peut comprendre de l'univers, la notion de compréhension étant elle même très mal définie.

[Anonyme20240202]

Et ouais concernant la notion de fin c'est aussi un truc fondamental, je suis un peu parti hors sujet.

Si l'univers est fondamentalement fini à tous les niveaux (même en considérant la combinatoire), le concept de construction infinie demeure (+1, +1, +1, +1, ...) mais il est bien moins pertinent car jamais réalisable.

Tu te poses mal la question pour l'instant, mais personne n'utilise la notion d'infini vraiment, ce qui est utilisé (ultimement en pratique) c'est la notion de limite et de continuité.

Donc genre si tu veux diviser un gateau en 3 parties égales, tu le feras avec une précision finie, mais mathématiquement on sait décrire un niveau infini de précision, à savoir si c'est la réalité physique c'est une des grandes questions.

Donc R n'est jamais utilisé en tant que tel en pratique ultimement tout ce qu'on fait n'a jamais fondamentalement utilisé un nombre avec une précision infinie.

Genre quand t'utilises PI dans tes calculs, tu peux le faire de manière exacte (PI - PI = 0), mais la signification physique n'est pas nécessairement liée à cette notion de nombre transcendental qu'est PI. Il faut bien distinguer l'outil mathématique et l'explosion conceptuelle et formelle qui en découle, de la réalité physique.

Donc quand les maths te disent que la circonférence d'un cercle c'est exactement PI * le diamètre, ça veut pas dire que PI "existe", ça a des implications très complexes concernant à quelle précision on peut mesurer et la signification fondamentale de la notion de cercle et sa construction. Tu peux voir le nombre PI comme l'algorithme qui calcul PI et non le résultat 3.14... c'est pareil!

Formule pour calculer PI = PI

On connait la mécanique qui permet de tendre vers un cercle, de même qu'on connait la mécanique qui permet de tendre vers l'infini (suffit de faire +1 à chaque fois), mais l'interprétation ontologique c'est autre chose.

Donc quand on crée les nombres y'a des conséquences mécaniques qui sont que: c'est facile de faire +1 -> notion d'infini

Mais la vraie question c'est l'interprétation ou tout du moins les conséquences utilitaristes, à quoi ça peut servir, et qu'est ce qu'on en a à foutre

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Et tout ça c'est la question philosophique classique de savoir si toute découverte mathématique a nécessairement une signification

Qu'on retrouve souvent sous la forme "les maths sont elles découvertes ou inventées".

(La bonne réponse c'est inventé, les mathématiciens sont parfois bien trop prompt à tirer des conclusions ontologiques quant à un simple résultat formel )