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  1. #3691
    Un de mes sujets favoris: le tirage de points uniformément dans une région!

    Citation Envoyé par Cuillère Voir le message
    Je suis aussi preneur d'idées si vous avez une autre méthode plus simple pour trouver un point aléatoire qui est dans les 2 cercles à la fois (sans trop de brut force, la zone d'intersection est parfois très réduite)
    Je confirme ce qui a été dit, pour tirer un point uniforme dans une région un tout petit peu compliquée le rejet est très souvent la bonne méthode. Avec un peu de changement de repère, souvent - les transformations affines ne changent pas l'uniformité du tirage (aucun besoin de se forcer à utiliser un repère orthnormé, bien que là pour les disques c'est sans doute préférable). Attention, de manière plus générale les transformations non affines ne préservent souvent pas l'uniformité (cf le passage depuis des coordonnées polaires ci-dessous).

    * tirer un point dans un disque: la méthode revient à tirer un point dans un carré qui contient le disque, et à rejeter s'il est trop loin du centre. Sur ce coup je valide l'estimation de Souly, la proba de rejet est de 1-pi/4, moins de 25%. Cool.

    * tirer un point dans l'intersection de deux disques: une méthode bourrine consisterait à tirer un point dans le plus petit des deux, et à rejeter s'il n'est pas dans le plus grand. Mais l'intersection peut être arbitrairement petite par rapport au petit disque, donc inefficace.

    * tirer un point dans l'intersection de deux disques, comme ici: effectivement je chercherais un rectangle englobant aligné sur l'axe des deux centres. Attention, il est possible que la distance entre les deux points d'intersection ne soit pas suffisante comme dimension! Mais dans les cas où les deux disques sont un peu gros par rapport à leur intersection (qui aura un peu la forme d'une lentille concave des deux côtés), ce sera assez simple, la hauteur sera donnée par les deux points d'intersection et la largeur par les points d'intersection avec l'axe des centres; et la proba de rejet sera de l'ordre de 1/3 si mes souvenirs sont bons (cas limite avec des bouts de paraboles).

    Au passage, pour tirer un point uniforme dans un disque il y a une méthode sans rejet: tirer deux uniformes entre 0 et le rayon, et une uniforme entre 0 et 2 pi; et utiliser la plus grande des deux premières comme rayon, et la troisième comme angle, en polaires (si on tire le rayon et l'angle uniformément le résultat n'est pas uniforme, les points sont trop concentrés près du centre; explication à peu près compréhensible par mes étudiants qui ne savent pas calculer d'intégrales: la moitié des points vont tomber dans le disque de rayon moitié moins, qui ne représente que le quart de l'aire). Ceci dit, pour le coup il faut utiliser des fonctions trigo (sinus et cosinus pour le passage en polaires), et la valeur numérique de pi, c'est moins propre que le rejet qui ne fait que des opérations arithmétiques et, en moyenne, moins de 3 tirages (8/pi, environ 2.54)

    Sur ce sujet, un truc rigolo: le tirage d'un point uniformément à l'intérieur d'une ligne polygonale donnée. Le rejet peut être arbitrairement inefficace (l'aire de la région peut être arbitrairement petite par rapport à celle du rectangle englobant); la meilleure méthode que je connaisse passe par un précalcul pas évident: découpage en régions triangulaires, puis choix d'un triangle avec proba proportionnelle à son aire, et enfin tirage d'un point uniforme dans un triangle.

  2. #3692
    A noter qu'on peut aussi procéder autrement. C'est peu interessant en dimension 2 ou 3, mais pour les problèmes en grande dimension, c'est utile :

    Pour tirer des points uniformément sur une sphère de dimension n :

    On tire X = (X1, X2, ..., Xn) où les Xk sont iid de loi normale N(0.1), alors Y = X/sqrt(X1²+X2²+...+Xn²) est sur l'hypersphère de rayon 1.

    Et si on tire en plus une variable a uniforme sur [0,1], alors a^n.Y est uniformément distribué dans l'hypersphère.


    Totalement inutile en dimension 2 ou 3, mais en dimension 20, la probabilité de tirer un point dans l'hypersphère via la méthode de rejet est de 6 chances sur un milliard (environ)

  3. #3693
    Je viens de me poser une question bête : savez-vous d'où vient le nom français de la fonction sinc ? Sinus cardinal, ce n'est pas très catholique comme nom
    Et les anglais ont l'air de l'appeler simplement sinc

  4. #3694
    Après quelques recherches, j'ai trouvé des indications sur Math Overflow : https://mathoverflow.net/questions/3...-sinc-function

    Il semble que l'origine du terme "cardinal" vienne de l'équation de reconstruction où l'on écrit une fonction comme une somme discrete de sinc pondérés : "cardinal series" (cf https://mathworld.wolfram.com/CardinalFunction.html).
    Le point de départ est donc anglais (Whittaker). Le "c" étant bien l'indication de cardinal, même si son évocation n'est pas explicite chez eux.

    Après, je suis bien trop mauvais en sémantique (et en math) pour expliquer pourquoi "cardinal". J'imagine un lien avec la somme, mais ce lien est déjà présent dans le concept de série.
    Rien ne me choque moi, je suis un scientifique ! - I. Jones

  5. #3695
    Nouvelle médaille Fields pour un matheux français, Hugo Duminil-Copin, à 36 ans, il a pas chômé putain !

    https://www.lemonde.fr/sciences/arti...8_1650684.html

    Les travaux de Hugo Duminil-Copin portent sur la branche mathématique de la physique statistique. Il utilise des idées provenant de la théorie des probabilités pour étudier le comportement critique de divers modèles sur réseaux tels que les modèles d’Ising, de Potts, de marches auto-évitantes, et de percolation. Ces objets mathématiques décrivent un certain nombre de phénomènes physiques (tels que la magnétisation, les polymères, la porosité des matériaux, etc.) en les reformulant à l’aide de trajectoires, ensembles ou graphes aléatoires.

    En utilisant de nouvelles connexions entre ces modèles et en développant une théorie de la percolation dite dépendante, Hugo Duminil-Copin a obtenu des résultats majeurs sur ces modèles classiques et leur transition de phase, améliorant ainsi notre compréhension des phénomènes critiques en physique statistique à l’équilibre.


    J'ai rien compris
    On dit que pétrir, c'est modeler,
    Moi j'dis que péter, c'est démolir.

  6. #3696
    Il s'intéresse à ce qui se passe quand tu prends un objet mathématique de grande taille (typiquement un graphe), et que tu lui appliques un procédé aléatoire sur chaque sommet/arête.
    Par exemple, prends un graphe complet, que se passe-t-il si tu supprimes chaque arête avec une probabilité p ?
    Il va y avoir un phénomène de phase : si p est petit, ton graphe restera connexe, s'il est grand, il éclatera en plein de petites composantes connexes. Et entre les deux, il peut se passer des choses rigolotes (c'est la transition de phase).
    Et on applique ce genre de méthodes à tout un tas d'objets.

    La discipline a le vent en poupe, notamment en France, plusieurs chercheurs français étaient pressentis.

    - - - Mise à jour - - -

    Citation Envoyé par ZenZ Voir le message
    Nouvelle médaille Fields pour un matheux français, Hugo Duminil-Copin, à 36 ans, il a pas chômé putain !
    Faut avoir moins de 40 ans pour être lauréat, en même temps !
    Battle.net, BGA : S0uly

  7. #3697
    Hmm, j'avais entendu parler il y a déjà plusieurs années de Duminil-Copin (il avait résolu un vieux problème sur les marches auto-évitantes, sur réseau hexagonal si je me souviens bien, et une collègue nous en avait parlé), je ne savais pas que c'était autant une star.

  8. #3698
    Citation Envoyé par Souly Voir le message
    Faut avoir moins de 40 ans pour être lauréat, en même temps !
    Je ne connaissais pas cette règle !
    On dit que pétrir, c'est modeler,
    Moi j'dis que péter, c'est démolir.

  9. #3699
    C'est la grande spécificité des maths en la matière... et c'est vraiment une règle intangible je crois. Et il me semble que ça s'applique à la date d'obtention de la médaille: si un mec de 37 ans démontre l'hypothèse de Riemann demain, il est marron.

  10. #3700
    Pour citer le règlement du prix
    2. The Fields Medal is awarded to an individual mathematician whose 40th birthday must not
    occur before January 1st of the year of the ICM at which the Fields Medals are awarded
    Après, il aura pas la médaille Fields, mais y'a un paquet d'autres prix et récompenses.

  11. #3701
    Limiter le prix aux moins de 40 ans, c'est franchement une règle bizarre.

    Ils auraient au moins pu prendre un nombre premier.
    Les vaccins ARN messager seront récompensés par un prix Nobel.
    J'ai dit

  12. #3702
    Je suis sûr que vous avez toujours rêvé d'entrer au MIT. En 1870, ça semblait jouable.



    dans les commentaires il y a une traduction de polytechnique de 1871 pour comparaison.

    "Les faits sont têtus."


  13. #3703
    Une chaine youtube que j'ai découvert cette nuit à 3h du mat'.





    J'adore le ton disruptif du mec.
    On dit que pétrir, c'est modeler,
    Moi j'dis que péter, c'est démolir.

  14. #3704
    Citation Envoyé par Laya Voir le message
    Je suis sûr que vous avez toujours rêvé d'entrer au MIT. En 1870, ça semblait jouable.

    dans les commentaires il y a une traduction de polytechnique de 1871 pour comparaison.
    Ça montre surtout que le focus a bien changé en 150 ans... la question de l'X je serais pas capable de la traiter rapidement. J'imagine qu'ils avaient droit aux outils de l'époque, tables de logs et, je suppose, règles à calcul. Mon père qui a fait l'X fin des années 60 [du 20 siècle, hein] savait se servir de ça, moi qui ai passé le concours en 89 [je l'ai pas eu, mais si j'avais pas séché les oraux je pense que j'avais mes chances - mon prof de taupe m'a engueulé pour ça d'ailleurs] je n'ai jamais appris comment les utiliser. Mais bon, la teneur des épreuves avait aussi changé en conséquence.

  15. #3705
    (Je déterre le topic, je n'avais pas réalisé à quel point il y avait longtemps qu'il avait disparu)

    Dans le topic de l'environnement, j'ai fait une remarque sur le sens du mot "tautologie" dans le langage courant et dans la terminologie mathématique, je vais développer un peu, mais ici plutôt que là-bas, parce que là-bas c'est vraiment hors sujet.

    En français courant, le mot "tautologie" a un sens péjoratif, pour dire une évidence, une phrase vide de sens. Si dans un débat politique votre adversaire vous dit que vous prononcez des tautologies, ce n'est pas un compliment, il veut dire que vous parlez pour ne rien dire.

    Dans le langage de la logique, une tautologie, c'est une affirmation qui est "toujours vraie", "quelle que soit la façon dont on l'interprète". Par exemple en logique propositionnelle (celle où on a des lettres pour désigner des affirmations, souvent P, Q, R, et on les relie avec des "et", "ou", "implique", "non"), on va considérer les interprétations où on peut attribuer à chaque lettre une valeur "Vrai" ou "Faux", et chaque formule complexe reçoit une valeur "Vrai" ou "Faux" qui en découle. C'est la notion de table de vérité. Et dans ce contexte, une "tautologie", c'est une "phrase logique" qui reçoit toujours la valeur "Vrai", quelles que soient les valeurs des lettres. Par exemple: (j'utilise "/" pour "et", "\/" pour "ou", "=>" pour "implique" (si.. alors..), et "non-" pour la négation)

    P=>(P \/ Q)
    (P/\Q) => P
    P \/ (non-P)
    (P=>Q) \/ (Q=>P)
    ((P=>Q)=>P)=>P

    (La dernière est un truc bizarre)

    Donc une "tautologie" dans ce contexte, c'est "un truc qu'on peut espérer prouver sans faire d'hypothèses particulières sur le sens des variables" (les lettres, on appelle ça des variables). Et inversement, si votre formule n'est pas une tautologie, ben pour la prouver il va vous falloir des hypothèses en plus, genre "que représentent les lettres P et Q?".

    Et dans d'autres formalismes logiques (plus puissants), une tautologie c'est aussi un "truc" qui est "toujours vrai" dans "tous les univers envisageables", mais je vais pas faire un cours de logique complet ici. J'ai quelques bouquins pas mal qui traînent sur mon bureau. Mais par exemple:

    (pour tout x, P(x) /\ Q(x)) => ( (pour tout x, P(x)) /\ (pour tout x, Q(x)) )

    est une tautologie, mais

    (pour tout x, P(x) \/ Q(x)) => ( (pour tout x, P(x)) \/ (pour tout x, Q(x)) )

    n'en est pas une (il est vrai que chaque nombre entier est pair ou impair, mais il n'est vrai ni que chaque nombre entier est pair, ni que chaque nombre entier est impair).

  16. #3706
    Un bon exemple de tautologie en mathématique, c'est tout simplement un théorème.

  17. #3707
    Citation Envoyé par Shosuro Phil Voir le message
    ...
    Merci.

    J'avais commencé à lire des livres de Raymond M. Smullyan et à regarder des cours à côté, c'était vraiment super intéressant mais j'ai pas assez de temps/d'énergie après le boulot
    a brief and rapidly closing window of opportunity to secure a [...] future for all.
    Overshoot
    - Le film d'horreur ira jusqu'au paroxysme final - Last Week in Collapse

  18. #3708
    Quand j'étais arrivé en prépa on avait commencé par les cours de logique, et j'avais trouvé ça passionnant. Mais c'est vrai que j'avais aussi adoré me casser la tête sur les bouquins de Smullyan quand j'étais ado
    Tutos Youtube Dwarf Fortress, Dungeon Crawl Stone Soup, Cataclysm DDA et Aurora 4X : Gobbostream (synopsis et vidéos à télécharger ici). Chaîne Twitch. Chan CPC mumble Dwarf Fortress dans la section Divers

  19. #3709
    Je sais que c'est pas votre niveau ici, mais je suis tombé là-dessus sur youtube et j'ai trouvé hyper intéressant.



    Je trouve que le prof explique hyper bien.
    Citation Envoyé par Big Bear Voir le message
    Je suis totalement d'accord avec le canardpcnaute M. Cacao.

  20. #3710
    Par contre, un prof de maths avec une cravate, ce n'est pas crédible

  21. #3711
    TLDW : car un produit indicé par l'ensemble vide doit le neutre de l'opération considérée ? Et que les conventions de somme vide, de max ou min d'ensemble vide, etc fonctionnent pareil ?
    Où y a-t-il une autre explication avancée ?

  22. #3712
    Citation Envoyé par Vautour Voir le message
    TLDW : car un produit indicé par l'ensemble vide doit le neutre de l'opération considérée ? Et que les conventions de somme vide, de max ou min d'ensemble vide, etc fonctionnent pareil ?
    Où y a-t-il une autre explication avancée ?
    Je sais pas, mais la différence en tout cas, c'est que

    Citation Envoyé par Bah Voir le message
    Je trouve que le prof explique hyper bien.
    Après, peut-être qu'il dit n'importe quoi...
    Mais il a une cravate donc ça passe.
    Citation Envoyé par Big Bear Voir le message
    Je suis totalement d'accord avec le canardpcnaute M. Cacao.

  23. #3713
    Une vidéo de 6 minutes pour expliquer que c’est évident ?

  24. #3714
    Il ne donne même pas explicitement la raison décrite par Vautour, en fait (elle est implicite, et il fait appel à l'analogie avec les puissances, mais l'analogie est un peu foireuse parce que pour les puissances on étend la notation aux exposants négatifs, alors que précisément pour la factorielle on ne peut pas). Et ensuite il digresse sur la transformée de Fourier.

    (Le même a d'autres vidéos qui me semblent nettement mieux expliquées)

  25. #3715

  26. #3716
    Citation Envoyé par Vautour Voir le message
    Et que les conventions de somme vide, de max ou min d'ensemble vide, etc fonctionnent pareil ?
    Il n'y a pas de notion d'élément neutre pour le max ou le min. Et en plus la définition impose que le max/min appartienne à l'ensemble considéré, donc ce n'est pas possible pour l'ensemble vide.

  27. #3717
    Citation Envoyé par Cwningen Voir le message
    Il n'y a pas de notion d'élément neutre pour le max ou le min. Et en plus la définition impose que le max/min appartienne à l'ensemble considéré, donc ce n'est pas possible pour l'ensemble vide.
    Ben si (presque), si tu prends un ensemble (totalement ordonné) avec un minimum et un maximum, le minimum devient neutre pour la prise de max et le maximum devient neutre pour la prise de min. Et donc par exemple pour les réels, tu complètes avec un "+infini" et un "-infini", qui vont servir de neutres.

    La seule chose que tu perds, c'est que le min et le max appartiennent à l'ensemble. Au final on parle plus d'inf (borne inférieure: le plus grand des minorants) et de sup (le plus petit des minorants) (et non, je ne sais pas quelles sont les bonnes hypothèses minimales, notamment si on enlève l'hypothèse que l'ordre est total)

  28. #3718
    J'ai failli dire un mot sur les bornes sup/inf (qui n'est pas la même chose que les max/min). Ça marche sous certaines conditions mais pas pour les mêmes raisons que les sommes/produits/... Comme tu le décris on peut trouver un élément qui répond à la définition. Pas besoin de convention.

    Edit: Je relis et je comprends qu'il faut distinguer le "maximum d'un ensemble" qui a une définition qui exclut l'ensemble vide, et l'opération binaire "max" répétée un nombre quelconque de fois (qui est une opération associative et qui admet un élément neutre dans certains cas). Les deux peuvent donner des choses différentes.

  29. #3719
    Un max (s'il existe) est un cas particulier de sup.
    Prenons le cas du degré d'un polynôme. C'est le max des k tq a_k est non nul (avec les notations usuelles), et c'est aussi le sup sur k. Si le polynôme est nul, tous les a_k sont nuls et on cherche le sup des k dans l'ensemble vide, donc -infini.

  30. #3720
    Ton max/min d'un ensemble, au moins d'un ensemble fini non vide, c'est l'itération de l'opération binaire; mais pour qu'elle soit bien définie pour un ensemble, il faut moralement qu'elle soit associative et commutative (sinon on peut aussi parler d'itération de fonctions binaires arbitraires sur les listes; et c'est pas pour rien qu'on a des fonctions fold_left et fold_right différentes dans les bibliothèques de langages fonctionnels).

    Si tout ce que tu veux c'est que la notion qui marche bien pour des ensembles finis non vides s'étende à l'ensemble vide, il "suffit" d'étendre ton domaine avec une valeur T (prenons un Top, c'est plus facile à dessiner en ASCII qu'un Bottom; donc je considère un calcul de minimum), et d'étendre ton opération (associative et commutative) de sorte à avoir T.x=x pour tout x: paf, T est neutre pour l'opération, ça a bien l'air de préserver associativité et commutativité, et en définissant min() comme le "vrai" minimum d'un ensemble fini non vide, et MIN() comme le pseudo-minimum sur tout ensemble (fini), tu as bien MIN(E)=min(E) pour E non vide, avec extension naturelle des propriétés de min à MIN.

    Et tiens, rien de ce que je raconte ne nécessite que x.y soit toujours égal à x ou à y; si par exemple tu prends le inf et le sup dans un treillis (ça me semble être la bonne notion), ça me semble marcher.

    Après si tu veux que l'opération soit aussi définie pour des ensembles infinis, c'est là que, potentiellement, ça se gâte. Je suis plus assez savant sur les structures, mais il doit bien y avoir un gang de bourbakistes, un jour, qui ont identifié les hypothèses minimales...

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