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  1. #1
    Salut à tous, je vous pose un petit problème qui va peut-être vous faire réfléchir...

    Soit a et b deux variables avec a€N et b€N. De plus, PGCD(a;b)=2.
    Posons (E) a²-b²=2004. Déterminez alors l'ensemble des solutions de (E). Sinon, expliquez pourquoi S(E)=∅.

    Bon courage à vous !

  2. #2
    Ca sent le lycéen qui a un devoir à rendre pour demain.
    a=170 b= 164
    Et démerde toi pour trouver comment.

  3. #3
    Citation Envoyé par Vautour Voir le message
    Ca sent le lycéen qui a un devoir à rendre pour demain.
    a=170 b= 164
    Et démerde toi pour trouver comment.
    Et bien, que t'es trop sûr de toi toi ! C'est bien de l'être mais là tu te fais des films XDD
    Pour te dire c'est du programme Terminale spé maths mais je suis qu'en Seconde...Mais bon, j'essaie d'y réfléchir, et tu viens de me donner une grosse piste. Merci

    - - - Mise à jour - - -


  4. #4
    "XDD"
    Bah oui.
    Dans ce genre de questions, on commence par chercher une équations équivalente où les inconnues sont des nombres premiers entre eux. Généralement ça donne des nombres plus petits, des meilleurs propriétés, et éventuellement moins de cas à tester s'il faut passer par là.
    Donc ton équation en a et b, transforme là en une équation en c et d qui seront premiers entre eux.
    Ensuite, utilise le fait que tu as une équation à solutions entières et que tu peux écrire les différents termes de ton équation sous formes de produits.

  5. #5
    J’ai une autre solution en bourrinant en Python.
    Mais déjà, a²−b² devrait te faire tiquer.
    une balle, un imp (Newstuff #491, Edge, Duke it out in Doom, John Romero, DoomeD again)
    Canard zizique : q 4, c, d, c, g, n , t-s, l, d, s, r, t, d, s, c, jv, c, g, b, p, b, m, c, 8 b, a, a-g, b, BOF, BOJV, c, c, c, c, e, e 80, e b, é, e, f, f, f, h r, i, J, j, m-u, m, m s, n, o, p, p-r, p, r, r r, r, r p, s, s d, t, t
    Canard lecture

  6. #6
    Alors, je vous propose ma réponse. Dites moi si cela est mathématiquement correct s'il vous plaît:

    Soit a et b deux variables, avec (a;b)∈ ℕ et PGCD(a;b) = 2. Posons (E) a² - b² = 2004.

    -Décomposons 2004 en produit de facteurs premiers: 2004 = 2² × 3 × 167. Or, nous savons que PGCD(a;b) = 2; nous pouvons en conclure que a et b sont pairs. Nous pouvons ainsi en déduire l'expression suivante après factorisation: a² - b² = 2004 = (a - b) (a + b) = 2004 ⇒ 2c × 2d = 2004 (avec a - b = 2c et a +b = 2d).

    -En utilisant la décomposition de 2004 en produit de facteur premiers, nous pouvons transformer l'expression 2c × 2d = 2004 en notant c = 3 et d = 167. Donc 2 × 3 × 2 × 167= 6 × 334 = 2004. Nous pouvons ainsi en déduire que (a - b) = 6 et (a + b) = 334.

    -Nous pouvons ainsi constater le système, que nous nommerons (S), suivant:
    (S): a - b = 6 ; a + b = 334. L'ensemble des solutions de ce système est {(170;164)}.

    Nous pouvons ainsi en conclure que l'ensemble des solutions de cette équation est {(170;164)} (a=170 et b=164).

    Désolé pour la mauvaise rédaction, je l'ai faite du tac au tac sans trop réfléchir. Merci à vous !

  7. #7
    42
    Tout a commencé par une nuit sombre, alors que je cherchais un raccourci clavier que jamais je n’ai trouvé.
    Citation Envoyé par Djal Voir le message
    Omar est drôle. Toujours.

  8. #8
    J’insiste : j’ai une autre solution.
    une balle, un imp (Newstuff #491, Edge, Duke it out in Doom, John Romero, DoomeD again)
    Canard zizique : q 4, c, d, c, g, n , t-s, l, d, s, r, t, d, s, c, jv, c, g, b, p, b, m, c, 8 b, a, a-g, b, BOF, BOJV, c, c, c, c, e, e 80, e b, é, e, f, f, f, h r, i, J, j, m-u, m, m s, n, o, p, p-r, p, r, r r, r, r p, s, s d, t, t
    Canard lecture

  9. #9
    Putain le PGCD quoi, j'avais pas entendu parler de ça depuis ... ben genre 15 ans ?
    On dit que pétrir, c'est modeler,
    Moi j'dis que péter, c'est démolir.

  10. #10
    Citation Envoyé par ducon Voir le message
    J’insiste : j’ai une autre solution.
    a€N et b€N

  11. #11
    Citation Envoyé par ducon Voir le message
    J’insiste : j’ai une autre solution.
    Ben file la alors ton autre solution ducon !

  12. #12
    a=502 et b=500.
    une balle, un imp (Newstuff #491, Edge, Duke it out in Doom, John Romero, DoomeD again)
    Canard zizique : q 4, c, d, c, g, n , t-s, l, d, s, r, t, d, s, c, jv, c, g, b, p, b, m, c, 8 b, a, a-g, b, BOF, BOJV, c, c, c, c, e, e 80, e b, é, e, f, f, f, h r, i, J, j, m-u, m, m s, n, o, p, p-r, p, r, r r, r, r p, s, s d, t, t
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  13. #13
    Y a en fait 4 solutions

  14. #14
    Voilà où je voulais en venir : de ne pas t’arrêter à la première solution.
    une balle, un imp (Newstuff #491, Edge, Duke it out in Doom, John Romero, DoomeD again)
    Canard zizique : q 4, c, d, c, g, n , t-s, l, d, s, r, t, d, s, c, jv, c, g, b, p, b, m, c, 8 b, a, a-g, b, BOF, BOJV, c, c, c, c, e, e 80, e b, é, e, f, f, f, h r, i, J, j, m-u, m, m s, n, o, p, p-r, p, r, r r, r, r p, s, s d, t, t
    Canard lecture

  15. #15
    Effectivement, il faut factoriser: (a+b)(a-b) = 2.2.3.167. Donc il va falloir que chacun parmi a+b et a-b soit un produit de ces facteurs: l'un va être multiple de 3, l'un va être multiple de 167, et soit l'un est multiple de 4, soit les deux sont multiples de 2.

    Avec la condition sur le PGCD, a et b sont tous les deux pairs, donc a+b et a-b aussi; donc il reste à répartir les facteurs 3 et 167 parmi a+b et a-b.

    Là, tu ajoutes que tu veux que a et b soient positifs, donc a+b>a-b. Donc le facteur 167 doit être dans a+b.

    Il reste deux solutions possibles: a+b=2.3.167 et a-b=2 (la solution de ducon), et a+b=2.167 et a-b=2.3 (la tienne).

  16. #16
    Citation Envoyé par ZenZ Voir le message
    Putain le PGCD quoi, j'avais pas entendu parler de ça depuis ... ben genre 15 ans ?
    Ptain mais pareil, et à l'époque j'aurais tout capté sans souci;
    Là je suis juste comme un con à me demander si c'est pas un énième post échappé d'un topic MMO...

    -.-.-– nAKAZZ, depuis 2024

  17. #17
    Citation Envoyé par Shosuro Phil Voir le message
    Effectivement, il faut factoriser: (a+b)(a-b) = 2.2.3.167. Donc il va falloir que chacun parmi a+b et a-b soit un produit de ces facteurs: l'un va être multiple de 3, l'un va être multiple de 167, et soit l'un est multiple de 4, soit les deux sont multiples de 2.

    Avec la condition sur le PGCD, a et b sont tous les deux pairs, donc a+b et a-b aussi; donc il reste à répartir les facteurs 3 et 167 parmi a+b et a-b.

    Là, tu ajoutes que tu veux que a et b soient positifs, donc a+b>a-b. Donc le facteur 167 doit être dans a+b.

    Il reste deux solutions possibles: a+b=2.3.167 et a-b=2 (la solution de ducon), et a+b=2.167 et a-b=2.3 (la tienne).
    Amha, il doit peut-être y avoir un chemin plus "simple" (enfin, différent plutôt) vers la solution. Votre solution passe par la nécessité de factoriser 2004 en facteur premier, ce qui est trivial pour le divisible par 2*2, mais ce qui ne l'est pas forcement pour le divisible par 501 sauf à tester au hasard. Savoir que 167 est premier par exemple, ne me semble pas relever d'un problème posé sur le papier à des terminal. En ce sens l'énoncé me parait quand même étrange si c'est bien le seul chemin vers la solution. (mais je n'en vois pas d'autres, dans tout les cas on retombe sur (a+b)(a-b)=501)
    Ou il manque une partie de l'énoncé ou un exercice précédent qui donne l'indication ou maintenant ils apprennent l'astuce sur la recherche jusqu’à la racine carré (ce que je ne crois pas de mémoire), mais même comme ça il faut tester un peu à la bourrin pour être sur ...
    Dernière modification par Nilsou ; 04/05/2020 à 23h04.

  18. #18
    Citation Envoyé par Nilsou Voir le message
    Amha, il doit peut-être y avoir un chemin plus "simple" (enfin, différent plutôt) vers la solution. Votre solution passe par la nécessité de factoriser 2004 en facteur premier, ce qui est trivial pour le divisible par 2*2, mais ce qui ne l'est pas forcement pour le divisible par 501 sauf à tester au hasard. Savoir que 167 est premier par exemple, ne me semble pas relever d'un problème posé sur le papier à des terminal. En ce sens l'énoncé me parait quand même étrange si c'est bien le seul chemin vers la solution. (mais je n'en vois pas d'autres, dans tout les cas on retombe sur (a+b)(a-b)=501)
    Ou il manque une partie de l'énoncé ou un exercice précédent qui donne l'indication.
    501 divisible par 3, c'est évident par les critères de divisibilité. Pour rappel, un nombre est divisible par 3 (resp.9) ssi la somme de ses chiffres en base 10 est divisible par 3 (resp 9). C'est du CE1 .
    Et pour voir que 167 est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les premiers inférieurs à racine de 167. Tout le monde sait que 169=13^2. Donc on teste par 3 (via le critère ci-dessus), par 5 (c'est évident), par 7 (ça prendre 3 secondes, par exemple en remarquant que 168=140+28), par 11 (on écrit ou on utilise la somme alternée des chiffres). That's it.
    Tout ça c'est du programme de terminale S ou d'avant.

  19. #19
    Citation Envoyé par Vautour Voir le message
    Tout ça c'est du programme de terminale S ou d'avant.
    J'admet que je n'ai pas le programme sous les yeux, mais la dernière fois que j'ai donné des cours particuliers (bon ça remonte un brin) ce n'était pas le cas pour l'astuce de la racine carré.
    Mais ça a peut-être changé...
    Quant aux tests en lui même pour trouver que 167 est premier, je ne dis pas que c'est compliqué, mais j'ai jamais vu poser ça comme ça dans un programme de S

    Ce pourquoi je me demandais si la solution n'était pas déjà un peu pré-fournie dans un exercice en amont, ce qui est une pratique courante.

    edit : Alors en fait ça semble bien au programme actuel, mais seulement en spé math. Je pense que je n'ai jamais du enseigner à des spé math Mais comme l'énoncé de l'exercice vient de spé-math, ceci explique cela et c'est bien cohérent du coups. méa culpa.

  20. #20
    Citation Envoyé par Vautour Voir le message
    Tout le monde sait que 169=13^2.
    Ben oui, c'est évident.

    Blague à part, le chiffre est bas et donc sa racine est facile à trouver, en effet. Là, comme ça, ça ne m'aurait pas fait tilt au premier coup d'oeil, mais les maths ne sont pas au centre de mon boulot, donc ça n'aide pas.
    Ceci dit, je serais curieux de connaître une formule pour déterminer rapidement la racine carrée d'un nombre moins évident, car c'est un truc qu'on ne m'a jamais appris à l'école, c'était soit des "évidences" comme ici, soit invitation à utiliser la calculatrice.

  21. #21
    Citation Envoyé par Maalak Voir le message
    Ceci dit, je serais curieux de connaître une formule pour déterminer rapidement la racine carrée d'un nombre moins évident, car c'est un truc qu'on ne m'a jamais appris à l'école, c'était soit des "évidences" comme ici, soit invitation à utiliser la calculatrice.
    À part connaître les carrés des entiers, et inverser?

    Pour mettons 346 (pris au pif):

    Tu sais que 20x20 = 400, donc ta racine carré est inférieure à 20.
    15 x 15 = 225, donc ta racine carrée est supérieure à 15.
    Tu tapes approximativement entre les deux, mettons 17: 17 x 17 = 289 (chiant à calculer de tête)
    18 x 18 = 324, plus que 18
    19 x 19 = 361 (si tu as joue au Go, tu est censé le savoir)
    OK, ta racine carrée est entre 18 et 19, si tu veux être plus précis il va falloir prendre genre 185 x 185 (et diviser par 100) mais là, de tête c'est en train de devenir pénible.

    Si tu as une calculatrice mais sans touche racine carrée (ça existe?), tu peux itérer un calcul simple:
    Tu pars de, on s'en fout, 1 par exemple.
    Tu remplaces à chaque fois x par (x+a/x)/2
    Ça converge très vite vers racine de a.

    Exemple avec a=3:
    Tu pars de x=1
    Au coup d'après, tu as (1+3/1)/2 = 2
    Au coup d'après, (2+3/2)/2 = 7/4 = 1.75
    Au coup d'après, (7/4 + 3*4/7)/2 = 97/56 ~ 1.732 (les 4 chiffres sont bons)
    Au coup d'après, (97/56 + 3*56/97)/2 = osef mais vraiment pas loin de racine de 3.

    Il était pas con le père Isaac Newton.

  22. #22
    Si tu as une calculatrice mais sans touche racine carrée (ça existe?), tu peux itérer un calcul simple:
    Tu pars de, on s'en fout, 1 par exemple.
    Tu remplaces à chaque fois x par (x+a/x)/2
    Ça converge très vite vers racine de a.
    Si une suite U définie par une relation de récurrence du type U(n+1) = f(U(n)) converge (avec f continue), alors elle converge vers un L qui vérifie L = f(L)

    Dans le cas de la suite de l'exemple de ShosuroPhil, f(x) = (x+a/x)/2, on a donc L=(L+a/L)/2, c'est à dire 2L² = L²+a ou encore L² = a

    Reste à montrer que la suite converge, mais ceci est une autre histoire

  23. #23
    Tout à fait, en l'occurrence c'est l'application de la "méthode de Newton" ou méthode de la tangente (qui cherche une solution à une équation de la forme f(x)=0), avec f(x)=x^2 -a. C'est pas hyper dur de montrer que ça converge, même si dans le cas général de la méthode c'est une difficulté technique.

    Par contre la méthode a en général l'avantage de proposer une convergence rapide: le nombre de chiffres significatifs corrects double grosso modo d'une fois sur l'autre. Sur l'exemple que j'ai pris je me suis arrêté avec 4 chiffres, au coup d'après il y en a très probablement 7 ou 8.

  24. #24
    Citation Envoyé par Shosuro Phil Voir le message
    Il était pas con le père Isaac Newton.
    C’était déjà connu des Chinois, des Babyloniens… et de Héron d’Alexandrie.
    une balle, un imp (Newstuff #491, Edge, Duke it out in Doom, John Romero, DoomeD again)
    Canard zizique : q 4, c, d, c, g, n , t-s, l, d, s, r, t, d, s, c, jv, c, g, b, p, b, m, c, 8 b, a, a-g, b, BOF, BOJV, c, c, c, c, e, e 80, e b, é, e, f, f, f, h r, i, J, j, m-u, m, m s, n, o, p, p-r, p, r, r r, r, r p, s, s d, t, t
    Canard lecture

  25. #25
    Citation Envoyé par Nilsou Voir le message
    J'admet que je n'ai pas le programme sous les yeux, mais la dernière fois que j'ai donné des cours particuliers (bon ça remonte un brin) ce n'était pas le cas pour l'astuce de la racine carré.
    Mais ça a peut-être changé...
    Quant aux tests en lui même pour trouver que 167 est premier, je ne dis pas que c'est compliqué, mais j'ai jamais vu poser ça comme ça dans un programme de S

    Ce pourquoi je me demandais si la solution n'était pas déjà un peu pré-fournie dans un exercice en amont, ce qui est une pratique courante.

    edit : Alors en fait ça semble bien au programme actuel, mais seulement en spé math. Je pense que je n'ai jamais du enseigner à des spé math Mais comme l'énoncé de l'exercice vient de spé-math, ceci explique cela et c'est bien cohérent du coups. méa culpa.
    C'est ce dont je me souvenais, comme quoi ça n'a pas changé. Du coup perso les PGCD j'ai juste quasi pas étudié ça, n'ayant pas fait spé math. C'est comme les congruences d'ailleurs et pas mal d'autres choses "basique". Les math ça reste bien large comme champ.
    "Les faits sont têtus."


  26. #26
    Citation Envoyé par ducon Voir le message
    C’était déjà connu des Chinois, des Babyloniens… et de Héron d’Alexandrie.
    Oui mais Newton était plus fort pour la promotion de Newton

    Plus sérieusement, je ne connaissais pas. J'imagine que les mathématiciens antiques avaient une vision géométrique de la chose (avec une tangente, ou avec une sécante?), et que l'apport de Newton c'est le formalisme calculatoire et le fait de calculer la tangente par dérivation.

  27. #27
    Les Chinois avaient une vision algorithmique, les Mésopotamiens avaient une vision numérique et algorithmique, la plupart des Grecs avaient une vision géométrique (certains, comme Pythagore, plutôt arithmétique, d’autres, comme Archimède, plutôt ingénieur).
    une balle, un imp (Newstuff #491, Edge, Duke it out in Doom, John Romero, DoomeD again)
    Canard zizique : q 4, c, d, c, g, n , t-s, l, d, s, r, t, d, s, c, jv, c, g, b, p, b, m, c, 8 b, a, a-g, b, BOF, BOJV, c, c, c, c, e, e 80, e b, é, e, f, f, f, h r, i, J, j, m-u, m, m s, n, o, p, p-r, p, r, r r, r, r p, s, s d, t, t
    Canard lecture

  28. #28
    OK je suis curieux de savoir comment les Chinois décrivaient la méthode ("algorithmique") alors.

    (On peut aussi aller continuer dans le topic des maths qui se morfond un peu, la question me semble pertinente)

  29. #29
    Quand je parle de méthode algorithmique, c’est à la manière des Mésopotamiens : fais ci, fais ça, fais ci, hop la réponse.
    une balle, un imp (Newstuff #491, Edge, Duke it out in Doom, John Romero, DoomeD again)
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    Canard lecture

  30. #30
    Oui mais comment c'était décrit? Penser à la courbe d'une fonction et à la tangente, qui est une droite qui approche la courbe, pour moi c'est une vision géometrique; et interpréter ça dans un calcul algorithmique, j'ai l'impression que c'est une vision très moderne de la fonction, je ne pensais pas que c'était disponible aussi tôt.

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