Les matheux sont dans la place - pt=prout

[Dr.Kant]

J ai toujours cru que les equations et constantes etaient liees car elles decoulaient de fonctionnelles vivant dans le meme monde. Par exemple l equation isoperimetrique pour pi, le principe d entropie pour la gaussienne...
Ca ou les reptiliens.

[Dr.Kant]

J'ai un systeme d'equations qui se struture de la maniere suivante:

V'*M_1*V+N_1*V=0
...
V'*M_k*V+N_k*V=0
...
V'*M_K*V+N_K*V=0

Avec V l'indertermine de taille K et M_k, N_k des matrices connues. Est-ce qu'il existe une solution approchée ou pas qui serait analytique? Merci. J'ai réussi a faite le cas ou K=1!

[BentheXIII]

C'est quoi les dimensions des matrices. Je sais qu'il est encore tôt chez moi mais on dirait que tu cherches le noyau de K formes quadratiques (donc à valeur dans R) auxquelles ty ajoutes un terme lineaire ( de taille K) -> dimension mismatch

[Souly]

Je suppose que les matrices N_k sont des vecteurs lignes.
Je pense qu'il faut regarder des algos de résolution avec des bases de Gröbner.

[Triz']

Hello les matheux (enfin, les stateux surtout) !

J'essaie d' "équilibrer" un jeu, et il me faudrait des valeurs...

Le jeu, c'est : Mon adversaire et moi lançons un dé (à 6 faces), le plus grand gagne (en cas d'égalité, on rejoue jusqu'à départage).

On est d'accord que la chance de gagner est de 50% ?



Maintenant, pour ce jet de dé, je peux avoir :

- aucun avantage
- un petit avantage
- un gros avantage

Je me tate sur la façon d'équilibrer ça, et j'ai pensé à :



PREMIERE OPTION

- si j'ai aucun avantage, j'ai +0 à mon D6
- si j'ai un petit avantage, j'ai +1 à mon D6
- si j'ai un gros avantage, j'ai +2 à mon D6

Que deviennent les chances de gagner dans ces 3 cas ?

Et dans le cas où j'ai un gros avantage (+2) et mon adversaire un petit (+1), est-ce pareil que si j'avais un petit (+1) et lui aucun (+0) ?



DEUXIEME OPTION

- si j'ai aucun avantage, je lance 1D6
- si j'ai un petit avantage, je lance 2D6 et je garde le meilleur
- si j'ai un gros avantage, je lance 3D6 et je garde le meilleur

Que deviennent les chances de gagner dans ces 3 cas ?

Et dans le cas où j'ai un gros avantage (3D) et mon adversaire un petit (2D), est-ce pareil que si j'avais un petit (2D) et lui aucun (1D) ?



En gros, si vous pouviez me remplir ça...

MOI	1D6	1D6+1	1D6+2

LUI

 1D6	50%	 ___	 ___

1D6+1	___	 50%	 ___

1D6+2	___	 ___	 50%



MOI	1D6	2D6	3D6

LUI

1D6	50%	___	___

2D6	___	50%	___

3D6	___	___	50%

Mercoin !

[Enyss]

PREMIERE OPTION

- si j'ai aucun avantage, j'ai +0 à mon D6
- si j'ai un petit avantage, j'ai +1 à mon D6
- si j'ai un gros avantage, j'ai +2 à mon D6

Que deviennent les chances de gagner dans ces 3 cas ?

Et dans le cas où j'ai un gros avantage (+2) et mon adversaire un petit (+1), est-ce pareil que si j'avais un petit (+1) et lui aucun (+0) ?

Déjà, +2 vs +1 c'est pareil que +1 vs +0

Si tu as un +1 et ton adversaire rien :
- Si tu fais 1 (probabilité 1/6) tu gagne si ton adversaire fait un 1 (probabilité 1/6), tu fait match nul si ton adversaire fait un 2 (probabilité 1/6). Probabilité de cet évenement : 1/36 pour le gain et 1/36 pour le nul
- Si tu fais 2, tu gagne si ton adveraire fait 1 ou 2, tu fait match nul si ton adversaire fait un 3. Proba de l'evenement : gain 2/36, nul 1/36
- Si tu fais 3, tu gagne si ton adveraire fait 1,2 ou 3, tu fait match nul si ton adversaire fait un 4. Proba de l'evenement : gain 3/36, nul 1/36
- Si tu fais 4, tu gagne si ton adveraire fait 1,2,3 ou 4, tu fait match nul si ton adversaire fait un 5. Proba de l'evenement : gain 4/36, nul 1/36
- Si tu fais 5, tu gagne si ton adveraire fait 1,2,3,4 ou 5, tu fait match nul si ton adversaire fait un 6. Proba de l'evenement : gain 5/36, nul 1/36
- Si tu fais 6, tu gagnes à tout les coups. Proba de l'evenement : gain 6/36

Proba de victoire : 21/36
Proba de nul : 5/36
Proba de défaite : 10/36

Proba de victoire finale : 21/31 = 67.7%

En faisant le même raisonnement avec un +2 :
- Si tu fais 1, tu gagne si ton adveraire fait 1 ou 2, tu fait match nul si ton adversaire fait un 3. Proba de l'evenement : gain 2/36, nul 1/36
- Si tu fais 2, tu gagne si ton adveraire fait 1,2 ou 3, tu fait match nul si ton adversaire fait un 4. Proba de l'evenement : gain 3/36, nul 1/36
- Si tu fais 3, tu gagne si ton adveraire fait 1,2,3 ou 4, tu fait match nul si ton adversaire fait un 5. Proba de l'evenement : gain 4/36, nul 1/36
- Si tu fais 4, tu gagne si ton adveraire fait 1,2,3,4 ou 5, tu fait match nul si ton adversaire fait un 6. Proba de l'evenement : gain 5/36, nul 1/36
- Si tu fais 5, tu gagnes à tout les coups. Proba de l'evenement : gain 6/36
- Si tu fais 6, tu gagnes à tout les coups. Proba de l'evenement : gain 6/36

Proba de victoire : 26/36
Proba de nul : 4/36
Proba de défaite : 6/36

Proba de victoire finale : 26/32 = 81.25%

DEUXIEME OPTION

- si j'ai aucun avantage, je lance 1D6
- si j'ai un petit avantage, je lance 2D6 et je garde le meilleur
- si j'ai un gros avantage, je lance 3D6 et je garde le meilleur

Que deviennent les chances de gagner dans ces 3 cas ?

Et dans le cas où j'ai un gros avantage (3D) et mon adversaire un petit (2D), est-ce pareil que si j'avais un petit (2D) et lui aucun (1D) ?

C'est plus compliqué à calculer. Prenons le cas 2D6 vs 1D6:

- si mon adversaire fait 1 (proba 1/6), il y a match nul si je fais 1-1 (proba 1/36), et je gagne le reste du temps (proba 35/36). Proba de cet evenement : gain 35/216, nul 1/216, defaite 0/216
- si mon adversaire fait 2, il y a match nul si je fais 1-2, 2-1 ou 2-2 (proba 3/36), je perds si je fais 1-1 (proba 1/36), et donc je gagne avec probabilité 32/36. Proba de cet evenement : gain 32/216, nul 3/216, defaite 1/216

Ensuite, on remarque que si mon adversaire fait 1 de plus, alors je perds si je fais un résultat qui m'apportait une défaite ou un nul avant (ça simplifie les calculs)

- si mon adversaire fait 3, il y a match nul si je fais 1-3, 2-3, 3-3, 3-2, 3-1 (proba 5/36), je perds avec proba 4/36, et donc je gagne avec probabilité 28/36. Proba de cet evenement : gain 27/216, nul 5/216, defaite 4/216

On remarque ensuite que le nombre de moyens de faire un nul si l'adversaire fait n, c'est 2(n-1)+1 = 2n-1 (les n-1, c'est le nombre de façons de tirer un dé plus petit que l'autre, fois deux car l'ordre est important dans cette modélisation, plus 1 pour le double)

- si mon adversaire fait 4, il y a match nul avec proba 7/36, je perds avec proba 9/36, et donc je gagne avec probabilité20 /36. Proba de cet evenement : gain 20/216, nul 7/216, defaite 9/216

- si mon adversaire fait 5, il y a match nul avec proba 9/36, je perds avec proba 16/36, et donc je gagne avec probabilité 11/36. Proba de cet evenement : gain 11/216, nul 9/216, defaite 16/216

- si mon adversaire fait 6, il y a match nul avec proba 11/36, je perds avec proba 25/36. Proba de cet evenement : gain 0/216, nul 11/216, defaite 25/216

Proba de victoire : 125/216
Proba de nul : 36/216
Proba de défaite : 55/216

Proba de victoire finale : 125/180 = 69.44%


Je ferrai des simu pour les autres cas

PS : je suis quasiement sur qu'à 3D vs 2D, l'avantage est moindre que 2D vs 1D, mais je n'ai pas fait les calculs

[Laya]

Belle réponse.

[Triz']

+1... Rayponse de kalitay...

[Dr.Kant]

Au fait, j'avais oublie de repondre: merci Souly!

[FMP-thE_mAd]

Tiens l'autre jour avec mes troisièmes j'ai posé une question et au final.. je ne sais pas y répondre non plus

On faisait l'approximation de Pi par la méthode de Monte-Carlo.
Donc pour calculer la proba qu'un point mis au hasard dans un carré 2x2 soit dans le cercle de rayon 1cm et tangent intérieurement au carré, on faisait :
P( point dans le cercle) = Aire du cercle / Aire du carré.

Ca ok.

Mais après j'ai posé une question à la con : si on cherche la proba qu'on point soit sur le cercle lui même ?
Avec les aires ça ne fonctionne plus, puisqu'on trouve 0 (l'aire de la ligne étant de 0). Or, cette proba ne peut pas être nulle (elle est infinitésimale ok, mais elle n'est pas nulle). Donc comment fait-on pour l'approximer ?

Même chose si je mets 100 cercles concentriques de centres l'intersection des diagonales du carré, et de rayon 0,01 ; 0,02 ; 0,03 etc etc jusqu'à 1, et que je cherche la proba qu'un point mis au hasard soit sur un des cercles. Comment fait-on ? Parce que du coup intuitivement la proba est plus élevée qu'avec un seul cercle. mais comment on la calcule ?
Et si je mets par exemple 4 milliards de cercles concentriques ?

C'est pas pour expliquer aux élèves hein (je leur ai juste montré que notre méthode avec les aires ne fonctionnaient plus) c'est juste pour moi.

Si quelqu'un a des pistes. Merci !

[Enyss]

La probabilité est bien nulle. Dire qu'une probabilité est infinitésimale n'a pas de sens, la probabilité d'un évènement c'est un nombre réel entre 0 et 1.

[Souly]

La probabilité est bien nulle. Dire qu'une probabilité est infinitésimale n'a pas de sens, la probabilité d'un évènement c'est un nombre réel entre 0 et 1.

En effet, contrairement à l'intuition, une proba nulle ne signifie pas qu'un évènement (hors problème fini) ne se produit pas. On dit que l'évènement n'arrive "presque sûrement" pas.

[Triz']

https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...de_Monte-Carlo

Détermination de la valeur de π (pi)

Soit un point M de coordonnées (x, y), où 0<x<1 et 0<y<1. On tire aléatoirement les valeurs de x et y. Le point M appartient au disque de centre (0,0) de rayon 1 si et seulement si x²+y² ≤ 1. La probabilité que le point M appartienne au disque est π/4.

En faisant le rapport du nombre de points dans le disque au nombre de tirages, on obtient une approximation du nombre π/4 si le nombre de tirages est grand.

La probabilité que x²+y² soit ÉGAL à 1 est vraiment nulle ?

[Møgluglu]

Oui, il y a une infinité de rayons possibles entre 0 et racine de 2. La probabilité de tomber exactement sur 1 est nulle. Comme en n'importe quel autre point d'ailleurs. Ici la probabilité n'a de sens qu'en terme de densité.

Si tu achètes un point sur un terrain, ou un trait d'épaisseur nulle, ça te coûtera 0€ quel que soit le prix au m². (Même si tu en achètes une quantité infinie dénombrable en fait.)

[Enyss]

Une démo du fait que la probabilité est nulle :



Sachant que j'ai triché à un endroit, saurez vous me dire ou ?

[Triz']

J'avais vu une vidéo (micmath ?) qui disait que les infinis genre "tous les nombres entiers" et "tous les nombres entiers pairs", en fait, c'est le "même" infini, pask'on peut passer de l'un à l'autre avec des opérations "simples".

Mais là, entre ceux qui sont sur le cercle et ceux qui sont sur le disque, c'est quand même pas le "même" infini, si ?

- - - Mise à jour - - -

http://tof.canardpc.com/view/e94f7c4...1bf4cd3fd1.jpg

En 2002, je comprenais les intégrales...

[Enyss]

J'avais vu une vidéo (micmath ?) qui disait que les infinis genre "tous les nombres entiers" et "tous les nombres entiers pairs", en fait, c'est le "même" infini, pask'on peut passer de l'un à l'autre avec des opérations "simples".

Mais là, entre ceux qui sont sur le cercle et ceux qui sont sur le disque, c'est quand même pas le "même" infini, si ?

Attention, tu as d'un coté la notion de cardinal (le "nombre" d'éléments d'un ensemble), et de l'autre la notion de mesure.

Un cercle et un disque, ça a le même cardinal : celui du continu. Tout les cercles et tout les disques ont d'ailleurs le même cardinal (enfin, tant qu'ils ne sont pas réduits à un point ^^)

Par contre, pour la mesure de Lebesgue (qui, en gros, formalise la notion d'aire/volume), deux disques de diamètres différents ont deux mesures différentes.

Il existe d'ailleurs (moyennant l'axiome du choix) des ensembles de points de l'espace pour laquelle la notion de volume ne marche pas :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski

Par contre, la notion de cardinal est bien défini pour tout ensemble (même si il y a un paquet de trucs rigolo à propos des cardinaux, genre hypothèse du continu ou les cardinaux inaccessibles)

[alucard le mordant]

Pour les proba de jets de dés, et même si je fais partie de l'école de ceux qui aiment résoudre les problèmes de façon analytique, je conseille vivement le site
http://anydice.com/ qui permet de faire des simulations de plein de type de jets différents (on peut faire un peu de programmation si on met les mains dans le cambouis) et de répondre facilement aux questions du type de Triz'.
C'est surtout orienté JDR mais ça reste un super outil (même dans un but pédagogique j'imagine).

J'avais vu une vidéo (micmath ?) qui disait que les infinis genre "tous les nombres entiers" et "tous les nombres entiers pairs", en fait, c'est le "même" infini, pask'on peut passer de l'un à l'autre avec des opérations "simples".

Mais là, entre ceux qui sont sur le cercle et ceux qui sont sur le disque, c'est quand même pas le "même" infini, si ?

L'idée de la généralisation de la notion de "taille" aux ensembles infinis c'est que deux ensembles ont même "taille" si on peut trouver une bijection entre les deux ensembles (une opération qui, à chaque élément d'un ensemble associe un unique élément de l'autre).

On trouve des petits jeux logiques autour de l'Hôtel Hilbert qui contient une infinité de chambre numérotées par un entier.
Même si l’hôtel est plein on peut loger un nouvel arrivant sans souci en demandant à chaque occupant de s'installer dans la chambre N+1 (ou N était leur ancienne chambre).
On peut même loger une infinité de clients (numérotés par des entiers) facilement en demandant à chaque occupant de passer de la chambre N à la chambre 2N.

Quand on est en bijection avec l'ensemble des nombres entiers ont dit qu'on est dénombrable (c'est le cas de l'ensemble des nombres rationnels par exemple même si intuitivement l'ensemble est "plus grand").
Dans le cas des ensembles des points sur un cercle et des points sur un disque il n'est pas possible d'établir une bijection. Du coup l'ensemble des points sur le disque est, en un sens, "plus grand".

[Triz']

Ayé ! J'ai débrainfucké mon cerveau !

https://www.youtube.com/watch?v=1YrbUBSo4Os

Plus précisément à partir de 12:06...

- - - Mise à jour - - -

Pour les proba de jets de dés, et même si je fais partie de l'école de ceux qui aiment résoudre les problèmes de façon analytique, je conseille vivement le site
http://anydice.com/ qui permet de faire des simulations de plein de type de jets différents (on peut faire un peu de programmation si on met les mains dans le cambouis) et de répondre facilement aux questions du type de Triz'.

Hé ! Ca a l'air pas mal, j'ai tapé "output 3d6-2d6" pour voir...

EDIT : "output 3d6 - 1d6 > 0" marche aussi...

Dans le cas des ensembles des points sur un cercle et des points sur un disque il n'est pas possible d'établir une bijection. Du coup l'ensemble des points sur le disque est, en un sens, "plus grand".

J'ai l'impression que ma vidéo, elle dit l'inverse... :insure:

[Enyss]

Dans le cas des ensembles des points sur un cercle et des points sur un disque il n'est pas possible d'établir une bijection. Du coup l'ensemble des points sur le disque est, en un sens, "plus grand".

Il est parfaitement possible d'établir une bijection entre un disque et un cercle, elle aura juste une sale tête (= pas continue).

[Laya]

J'avais vu une vidéo (micmath ?) qui disait que les infinis genre "tous les nombres entiers" et "tous les nombres entiers pairs", en fait, c'est le "même" infini, pask'on peut passer de l'un à l'autre avec des opérations "simples".

Mais là, entre ceux qui sont sur le cercle et ceux qui sont sur le disque, c'est quand même pas le "même" infini, si ?

- - - Mise à jour - - -


En 2002, je comprenais les intégrales...

Les matheux me corrigeront mais la probabilité nulle correspond à ce qu'on appelle l'ensemble des mesure nulles (ou ensemble négligeable). C'est utilisé dans la théorie de la mesure de Lebesgue qui permet de définir une intégrale plus général que l'intégrale de Riemann qui est celle qu'on apprend au lycée.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3...le_de_Lebesgue

Comme exemple simple je te demanderais d'imaginer un nombre réel, voire un entier, et de demander à quelqu'un de deviner le nombre auquel tu penses.
Strictement parlant la probabilité de deviner ce nombre est 0 car, grosso modo, tu as 1/infini de possibilité.
En vrai elle ne parait pas être nulle, pourquoi? Parce qu'on est difficilement capable de se plonger dans une infinité de nombre, mais intuitivement si je pense au nombre 19237978776554 on voit bien que les chances que mon interlocuteur trouve cette réponse tendent vers 0.

edit; grillé par pas mal de monde.

[alucard le mordant]

Il est parfaitement possible d'établir une bijection entre un disque et un cercle, elle aura juste une sale tête (= pas continue).

Oh my mistake alors.
De mes années d'étudiant je me souviens surtout d'exercices où on se demandait si on ensemble était dénombrable ou non (avec notamment la très belle démonstration de Cantor de la non-dénombrabilité de R https://fr.wikipedia.org/wiki/Argume...nale_de_Cantor). Il va falloir que je me plonge dans les bijections entre ensemble non-dénombrables.

J'étais persuadé que :
1) L'ensemble des points du cercle était en bijection avec les éléments de l’intervalle [0,1]
2) L'ensemble des points du disque était en bijection avec les éléments de l’intervalle [0,1]x[0,1]
3) Il n'y avait pas de bijection entre [0,1] et [0,1]x[0,1]

[Enyss]

Avec axiome du choix, si E est un ensemble infini, alors il y a une bijection de E dans ExE

edit : j'ai ajouté infini, parce que bon, faut pas déconner quand même

[Triz']

http://anydice.com/

[3D6 - 1D6] est positif dans 97,29% des cas.
[3D6 - 2D6] est positif dans 77,83% des cas.
[2D6 - 1D6] est positif dans 83,78% des cas.

OKÉÉÉÉÉÉ !!! Say treau paytay !!!

On va rester sur [1D6+2 - 1D6] (72.23% des cas) et [1D6+1 - 1D6] (58,34% des cas).

[Enyss]

Attention, si tu fais [3D6-1D6] (ce que tu semble avoir fait), tu n'es pas dans le cas de ta deuxième option.

Si tu souhaite garder le meilleur dé, il faut faire

output [highest d6 of 3d6]>d6

[FMP-thE_mAd]

Merci pour vos réponses.

Je me doutais de ça, mais je me demandais "à partir de combien de segments dans le carré je passe de la probabilité nulle à une "autre probabilité"".

C'est rigolo de penser que la réponse c'est : bah une infinité

[Souly]

Merci pour vos réponses.

Je me doutais de ça, mais je me demandais "à partir de combien de segments dans le carré je passe de la probabilité nulle à une "autre probabilité"".

C'est rigolo de penser que la réponse c'est : bah une infinité

C'est évident quand tu réfléchis à la contraposé. Si tu avais une probabilité non nulle p d'être sur un segment, la probabilité d'être dans un ensemble de p+1 segments disjoints est supérieure à 1. On voit bien que ça coince à partir du moment où tu peux caler autant de segments que tu veux dans ton carré.

[Møgluglu]

C'est rigolo de penser que la réponse c'est : bah une infinité

Et encore, une infinité vachement grande : non dénombrable. Même si tu prends l'ensemble de tous les points dont les coordonnées sont des nombres rationnels, ta probabilité de tomber dessus est encore nulle. Pourtant si tu dessines cet ensemble, il couvre tout l'espace de façon continue.

[Vautour]

Continue ? Tu veux dire dense ?

[Møgluglu]

Oui, dense, c'est vrai que c'est mieux pour un ensemble cartésien. Gribouillable sans lever le stabilo, quoi.